§ 5. Разложение группы по подгруппе

Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть будет аддитивная группа целых чисел и А — ее подгруппа, состоящая из всех чисел, кратных Разобьем группу Она классы, относя К одному классу числа, дающие при делении на одинаковые остатки. Тогда для того, чтобы два числа х и у попали в один и тот же класс, необходимо и достаточно, чтобы их разность делилась на , значит, принадлежала подгруппе А

откуда , где

Так мы получим, очевидно, классов, считая одним из классов и подгруппу А.

Схематически это разложение группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных при можно представить следующим образом:

Введем теперь операцию сложения в множестве самих классов. Пусть даны два класса . Выберем в каждом из них по одному элементу (по представителю),

скажем, и , и сложим их, а суммой классов условимся считать класс, содержащий сумму . Такое определение сложения классов будет иметь смысл, если тот класс, в котором содержится сумма , не зависит от выбора представителей в классах В и С; проверим, что это действи; тельно так. Если тоже принадлежит В, а с , то

а тогда

делится на , значит, суммы с принадлежат одному и тому же классу.

Так определенное сложение классов ассоциативно и коммутативно, ибо этими свойствами обладает сложение в самой группе Класс, совпадающий с подгруппой А, играет роль нуля, так как в качестве представителя из А можно взять нуль, при всех Наконец, для каждого класса В имеется противоположный ему: если токласс, содержащий будет противоположным к В, так как Поэтому совокупность построенных классов сама образует группу относительно определенного нами сложения классов.

Полученная группа (группа классов) называется фактор-группой группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных Она является, очевидно, циклической группой порядка

Аналогичная конструкция применима и в общем случае. Пусть — произвольная, на этот раз мультипликативная группа, и А — некоторая ее подгруппа. Обозначим через множество всех элементов вида где называется левым смежным классом группы по подгруппе А.

Каждый элемент у, принадлежащий классу назовем эквивалентным х (будем писать Отметим следующие свойства этого понятия:

1. Каждый элемент х эквивалентен самому себе: (рефлексивность отношения так как

2. Если то (симметричность отношения

Действительно, если т. е. , то где а тогда , и значит, .

3. Если то (транзитивность отношения По условию, где Но тогда и значит,

Сделаем теперь отступление общего характера. Предположим, что для элементов некоторого множества М задано отношение (запись читается: эквивалентно у»), обладающее свойствами рефлексивности (всегда симметричности (если то и транзитивности (если то тогда говорят, что в этом множестве задана отношение эквивалентности. Примерами отношения эквивалентности могут служить равночисленность кеиечных наборов предметов, параллельность прямых, подобие треугольников, и т. д.

Теорема 2. Если в множестве М задано отношение эквивалентности, то это множество разбивается на непересекающиёся классы эквивалентных между собой элементов.

Доказательство; Обозначим через множество всех элементов, эквивалентных х (элемент в том и только в том случае, если Покажем сначала, что если элементы х и у эквивалентны, то соответствующие классы совпадают. Действительно, если то Но так как то , значит, Мы видим, что каждый элемент х из класса принадлежит Аналогично показывается, что каждый элемент у из класса принадлежит Следовательно,

Покажем, далее, что если элементы х и у не эквивалентны, то классы не пересекаются. Действительно, если то а тогда . Теорема доказана.

Вернемся к нашей группе и введенному в ней выше отношению По теореме 2 группа разбивается на (непересекающиеся) классы эквивалентных между собой элементов, Эти классы называются левыми

смежными классами группы по подгруппе А. Одним из этих классов будет, очевидно, сама подгруппа А.

Если — конечная группа, то все ее смежные классы по данной подгруппе А состоят из одного и того же числа элементов (элементы смежного класса взаимно однозначно соответствуют элементам подгруппы А, так как если бы равнялось то было бы равно Отсюда вытекает важная

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть — конечная группа порядка и А — ее подгруппа порядка Разложим группу на левые смежные классы по подгруппе А. Если — число полученных классов, то, поскольку каждый класс состоит из элементов, общее число элементов группы

и значит, делится на Число (тоже являющееся, очевидно, делителем называется индексом подгруппы А в группе

Каждый элемент группы порождает в ней циклическую подгруппу {g}, состоящую из всех степеней этого элемента. Порядок подгруппы совпадает с порядком, элемента в группе Ввиду теоремы Лагранжа порядок каждого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Всякая конечная группа, порядок которой — простое число, является циклической, так как циклическая подгруппа, порожденная в ней любым из ее элементов (кроме ), должна совпадать со всей группой.

Аналогично левостороннему разложению, можно построить правосторонее разложение группы по подгруппе А (на классы . В коммутативном случае оба разложения совпадают (состоят из одних и тех же классов).

В некоммутатиёной группе левостороннее и правостороннее разложения могут оказаться различными. Рассмотрим, например, разложение симметрической группы по ее подгруппе Левостороннее разложение состоит из классов

йравостороннее разложение — из классов

В то же время левостороннее и правостороннее разложения группы ее подгруппе третьего порядка совпадают: - каждое из них состоит из двух классов