ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Автор книги профессор Станфордского университета Т. Андерсон знаком советскому читателю по изданной в русском переводе книге «Введение в многомерный статистический анализ». В новой его книге освещен широкий круг проблем, связанных со статистическим анализом последовательностей случайных величин. С задачами такого рода приходится обычно сталкиваться при анализе эмпирических данных.

В книге описаны многочисленные математические модели, в рамках которых отыскиваются рациональные методы получения оценок и проверки гипотез об адекватности выбранной математической модели обрабатываемым данным. Значительное внимание уделено моделям регрессии и авторегрессии с конечным числом неизвестных параметров. Подробно рассмотрены методы оценки спектральных плотностей стационарных случайных процессов, а также выявление трендов в последовательных данных, «зашумленных» стационарными процессами.

Отличительной чертой книги Т. Андерсона является детальная проработка рассматриваемых проблем. Требования, предъявляемые к уровню математической подготовки читателя, вполне умеренные. Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями теории вероятностей, математической статистики и теории матриц. Необходимые сведения по теории случайных процессов приведены в гл. 7.

Каждая глава книги завершается большим числом задач, что в равной степени полезно и читателям, индивидуально работающим с книгой, и преподавателям, которые могут использовать различные части книги в курсах лекций по теории случайных процессов и статистике. В приложении к книге приведены примеры анализа эмпирических временных рядов (ежегодных индексов цен на пшеницу, чисел солнечной активности) и рядов, полученных моделированием процессов авторегрессии.

Книга будет полезна не только математикам, работающим в области теории вероятностей и математической статистики, но также и широкому кругу специалистов, которые сталкиваются с необходимостью обработки измерений, рассматриваемых как случайные временные ряды.

Узнав о переводе книги на русский язык, Т. Андерсон любезно прислал нам список опечаток. Перевод гл. 7 и 8 сделан И. Г. Журбенко. Весь остальной материал переведен В. П. Носко.

Ю. С. Беляев

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Авторы книг по статистическому анализу временных рядов по-разному могут подходить к их написанию. Я посвятил книгу математической теории статистических выводов относительно вероятностных моделей, лежащих (по предположению) в основе тех или иных временных рядов. Исходная вероятностная модель может включать детерминированный тренд и случайную составляющую, образующую стационарный случайный процесс. При этом естественно возникает целый ряд статистических задач, относящихся к характеристикам тренда и процесса. В книге всюду, где это возможно, отыскиваются оптимальные процедуры. Изучаются статистические свойства различных методов, причем во многих случаях свойства метода можно описать только для больших выборок, т. е. на основании совокупности наблюдений значений ряда в течение длительного периода времени. Как правило, дается математически строгий вывод соответствующих свойств.

В то время как теория развивается при строгих математических предположениях, приведенные в книге методы могут быть использованы и в тех случаях, когда указанные предположения выполнены не полностью. Часто бывает так, что свойства процедур меняются при этом несущественно. Как бы то ни было, точные результаты теорем служат руководством по использованию соответствующих процедур. В книге приведены примеры приложений развиваемых методов, обсуждаются вычислительные аспекты, вопросы использования и интерпретации этих методов. В то же время вопросы представления процедур в виде программ для вычислительных машин не затрагиваются.

Основой настоящей монографии явился курс лекций, который я читал в течение многих лет в Колумбийском университете обычно в течение одного, а иногда и двух семестров. Однако весь материал, в том виде как он представлен в книге, нельзя изложить в двухсеместровом курсе — лектор, использующий эту книгу как учебник, должен выбрать из нее разделы, представляющиеся ему наиболее интересными и важными. В книге приведено значительное число упражнений. Одни из них являются приложениями описанных методов, другие представляют собой разработку частных случаев ^общей теории. Часть упражнений связана с уточнением деталей сложных доказательств, остальные посвящены развитию теории.

Я надеюсь, что книга послужит не только учебником для начинающих, но будет полезна статистикам и специалистам, желающим познакомиться с анализом временных рядов, не обращаясь к

формальным курсам. Чтение этой книги и выполнение упражнений поможет существенно пополнить запас статистических методов, полезных для анализа временных рядов. Книгу можно использовать также и как справочник. В ней достаточно систематизированно представлен обширный материал, ранее разбросанный по различным источникам. Приводятся также некоторые новые теоремы и методы. В ряде случаев за счет ослабления предположений известных ранее утверждений получены более сильные результаты.

Поскольку область анализа временных рядов весьма обширна, передо мной встала задача выбора разделов, которые следует включить в книгу. Материал, помещенный в этой книге, вместе с указанием соответствующих ограничений, при которых развивается теория, описан мною во введении Определенную информацию дает также предметный указатель. Хочется надеяться, что основные и наиболее важные разделы анализа временных рядов оказались представленными, хотя полнота охвата тематики является делом вкуса. Постоянно создаются новые методы, - меняются точки зрения, так что приведенные здесь результаты вряд ли можно считать окончательными. Фактически часть включенного материала уже в настоящее время представляет скорее исторический интерес.

Ввиду большого объема книги будет, по-видимому, полезно дать несколько советов читателям и преподавателям относительно выбора материала для самостоятельного изучения и для целей обучения. Глава 2 содержит краткое замкнутое изложение метода наименьших квадратов. Главы 3 и 4 имеют дело с моделями, в которых случайные составляющие независимы (о них иногда говорят как об «ошибках измерений»). Некоторые идеи и элементы анализа, приведенные в этих главах, используются в дальнейшем. Однако читатель, интересующийся именно последующими главами, может довольно многое пропустить (включая большую часть § 3.4, 4.3 и 4.4). Процессы авторегрессии, которые оказываются полезными в приложениях и служат примерами стационарных случайных процессов, исследуются в гл. 5. Посвященные теории больших выборок § 5.5 и 5.6 содержат результаты, доказательства которых включают значительное количество деталей и могут быть опущены. Статистические выводы для этих моделей служат основой анализа стационарных процессов «во временной области».

Глава 6 представляет собой обширное исследование сериальной корреляции и критериев для проверки независимости. Параграфы 6.3 и 6.4 имеют по преимуществу теоретической интерес. В § 6.5 изучается алгебра квадратичных форм и их отношений. Распределения, моменты и аппроксимирующие распределения получены в § 6.7 и 6.8. Там же даны таблицы процентных точек для соответствующих критериев. Первые пять параграфов гл. 7 служат введением в теорию стационарных случайных процессов и спектральные свойства этих процессов. В гл. 8 развивается теория статистик, относящихся

к стационарным случайным процессам. Глава 9 посвящена оцениванию спектральной плотности, являющемуся основой анализа стационарных процессов «в частотной области». В § 10.2 регрессионный анализ распространяется на стационарные случайные составляющие. Результаты гл. 8 и 9 обобщаются на этот случай в § 10.3. В § 10.4 результаты гл. 6 обобщаются на случай, когда рассматриваются остатки от подобранного тренда. Можно выделить следующие части книги, которые образуют единое целое и которые можно читать независимо от других частей: (I) — гл. 2; (II) — гл. 3 и 4; (III) — гл. 5; (IV) — гл. 6; (V) — гл. 7; (VI) — гл. 8 и 9.

В практических приложениях статистический анализ временных рядов, кроме того, включает и менее формальную технику (которую теперь иногда называют «анализом данных»). Так, пониманию явления способствует простое графическое представление наблюдаемого временного ряда. Могут оказаться полезными те или иные преобразования измерений и связь последних с другими данными. Точно сформулированные процедуры, которые изучаются в этой книге, как правило, используются не в буквальном виде, а изменяются в зависимости от конкретных задач. Тем не менее для исследования статистических методов в рамках математической теории некоторые аспекты анализа необходимо формализовать. Например, задача об определении того, будет ли некоторый эффект достаточно большим, чтобы его можно было считать заметным, иногда формализуется как задача проверки гипотезы о том, что соответствующий параметр просто равен нулю.

По степени сложности эта книга примерно такая же, как и моя более ранняя книга «Введение в многомерный статистический анализ»; требуется лишь некоторое знание алгебры матриц. (Необходимый материал представлен в приложении В к упомянутой книге; дополнительные результаты приводятся в тексте и в упражнениях настоящей книги.) Полезно общее знакомство со статистическими методами. В частности, предполагается, что читатель знаком со стандартным материалом статистического анализа одной случайной переменной, включающим -критерии и F-статистики, с многомерным нормальным распределением, с элементами оценивания и проверки гипотез. Более тонкие вопросы оценивания, проверки гипотез и теории решений, на которые имеются ссылки, излагаются в упражнениях. [Детальное и строгое изложение вопросов проверки гипотез читатель может найти у Лемана (1959).] Предполагается также знание основ курса высшей математики. Хотя в книге рассматриваются только действительные временные ряды, тем не менее иногда удобно записывать некоторые выражения с привлечением комплексных переменных. Однако фактически теория функций комплексного переменного в книге не применяется, поскольку (за исключением одной задачи) дело ограничивается формулой Теория вероятностей использована в объеме, включающем

характеристические функции и некоторые основные предельные теоремы. Теория случайных процессов развивается в книге только в необходимых пределах.

Как было отмечено выше, в конце каждой главы приводится большое число задач. Исключением служит лишь первая глава, являющаяся введением. Решения задач были подготовлены Полем Шаманом. Решения, на которые имеются ссылки в тексте или которые демонстрируют некоторые наиболее важные моменты, помещены в приложении В к этой книге.

Я весьма обязан и признателен П. Шаману за его большое содействие в подготовке этой книги. Он принимал участие в отборе материала и его редактировании, в подборе ссылок и задач, в усовершенствовании доказательств и изложения, в исправлении ошибок различного характера. Он прочел рукопись в нескольких вариантах. Мне всегда представлялось излишним говорить (как это обычно принято), что компетентный рецензент рукописи не несет ответственности за ошибки в публикации, так как очевидно, что всякий человек, любезно согласившийся просмотреть рукопись, не может брать на себя такой ответственности. Здесь же такой отказ от ответственности вполне уместен, поскольку П. Шаман исправил так много ошибок, что трудно поверить, чтобы какие-нибудь еще остались. Тем не менее я допускаю, что в подобном материале очень легко ошибиться, и читатель должен порицать за любую найденную ошибку автора (и информировать его об этом).

Я благодарен Д. Хинкли, Т. Сава и Дж. Стаяну, прочитавшим значительную часть рукописи и доказательств и принимавшим участие в подготовке библиографии и указателя. Я выражаю также признательность многим моим коллегам и ученикам за помощь различного рода. Дж. М. Крэддоку, С. У. Дж. Гренджеру, М. Дж. Кендаллу, А. Стьюарту и Герману Вольду я весьма благодарен за то, что они разрешили мне использовать некоторые материалы.

В процессе работы над книгой весьма важным фактором была для меня длительная финансовая поддержка Военно-морского ведомства, оказывавшаяся в течение примерно десяти лет.

Отделения логики и математической статистики постоянно обеспечивали мне чрезвычайно благоприятные условия для работы.

Т. Андерсон, Станфордский университет, Февраль 1970