3.4.3. Вычисление последовательных разностей наблюдаемых рядов

Рассмотрим наблюдаемый временной ряд , о котором предполагается, что он складывается из тренда и случайной ошибки Поскольку оператор А линейный, то

Если полином от степени меньшей, чем то Во всяком случае,

Обратимся теперь к дисперсии величины Она равна дисперсии случайной величины

Для дальнейшего будет полезна

Лемма 3.4.1. Пусть и полиномы степени соответственно. Тогда равно умноженному на коэффициенту при в выражении или, что равносильно, коэффициенту при

Доказательство. Пусть

Тогда

поскольку Однако это и есть умноженный на коэффициент при в выражении

Доказательство завершается выписыванием второго полинома.

Дисперсия величины выражается соотношением

Это связано с тем, что правая часть (22) есть умноженный на коэффициент при в выражении

Ковариация величин и есть

Скользящее среднее является линейным оператором и может быть представлено в виде полинома от оператора

Аналогичным образом можно записать сглаживающие формулы из разд. 3.3.1, а также остаток от скользящего среднего

Если сглаживающая формула (25) использует полином степени то оператор (26) аннулирует (т. е. обращает в нуль) всякий полином степени или меньшей. Покажем, что отсюда следует, что этот оператор действует (исключая сдвиг во времени) как линейная комбинация разностей

Лемма 3.4.2. Если полином от х степени аннулирует всякий полином степени то можно представить в виде линейной комбинации операторов

Доказательство. Пусть Поскольку то

Если

ввиду того, что для . Поочередное рассмотрение (28) для показывает, что Это и доказывает лемму.

Следствие 3.4.1. Остаток (26) сглаживающей формулы с членами, использующей полином степени или является результатом применения линейной комбинации операторов

В случае указанный оператор имеет степень и поэтому он должен быть пропорционален равен . Значение С определяется путем сравнения двух выражений для дисперсии величины

Мы имеем из (22)

Далее,

Это следует из теоремы 3.3.1 и из некоррелированности оценки регрессии и остатка от нее. Поскольку является коэффициентом при в разложении то

Поэтому

При этом

Эти же выражения были приведены ранее в формулах (19), (20), (21) § 3.3.