4.4.3. Использование тригонометрических функций, периоды которых не являются делителями длины ряда

Ранее было замечено, что можно выразить с помощью (если четное). Если то

Если же , то

Коэффициенты и также могут быть выражены с помощью этих тригонометрических коэффициентов. Например, для

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Вычисление упрощается, если использовать следующие ортогональные преобразования величин и пар коэффициентов :

(см. скан)

где

Если то равно правой части (55) плюс равно правой части (56) плюс равно правой части (57), равно правой части (58) минус где .

В случае нормальности коэффициенты некоррелированы и независимы. При этом некоррелированы и взаимно независимы среднее у и коэффициенты Поэтому некоррелированы также при любых величины и и совокупность для всех не зависит от совокупности для всех Поскольку преобразование, переводящее в ортогонально, то . К сожалению, представления и использовать нелегко.

Если то можно изучить отклонения от выборочного среднего. Положим

Теорема 4.4.5. Если то

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Отметим, что .

Критерий для проверки гипотезы о том, что в предположении, что для некоторого а значение неизвестно, может состоять, например, в отклонении нулевой гипотезы, когда превышает некоторую постоянную величину. К сожалению, вероятность такого события. при нулевой гипотезе не вычислена в нормальном случае. В силу непрерывности максимум не будет сильно отличаться от максимума Если предполагается, что то аналогичным образом можно использовать

Обратимся теперь к задаче оценивания и X в предположении, что тренд является нетривиальной тригонометрической последовательностью. Для удобства будем считать, что Если предполагать, что величины распределены нормально, то логарифм соответствующей функции правдоподобия будет равен

где

Оценками максимального правдоподобия для и X являются значения минимизирующие сумму Для заданного значения экстремальные значения удовлетворяют соотношениям

Разрешая их относительно получаем соответственно

Для этих значений сумма квадратов (70) равна — , где квадратичная форма, определяемая соотношением (29). Значение Я, минимизирующее последнюю сумму квадратов, совпадает со значением максимизирующим и удовлетворяет уравнению Однако при этом производная представима слишком сложным выражением и это уравнение нельзя решить в явном виде (см. упр. 40).

Рассмотрим теорию этих процедур для случая больших выборок.

Теорема 4.4.6. Если

Доказательство. В соответствии с теоремой Поэтому в силу неравенства Чебышева справедливы соотношения (74) и (75). Из них в свою очередь вытекает соотношение (76), так как непрерывно зависит от и

Следствие 4.4.2. Если то выводы теоремы 4.4.6 остаются справедливыми для

Теорема 4.4.7. Пусть случайные величины независимы и их распределения удовлетворяют условию (3) § 2.6. Тогда величины имеют в пределе двумерное нормальное распределение с нулевыми средними, дисперсиями и нулевой ковариацией. При этом и имеют то же самое предельное распределение, а имеет в пределе -распределение с 2 степенями свободы.

Следствие 4.4.3. Пусть и случайные величины независимы, а их распределения удовлетворяют условию (3) § 2.6. Тогда утверждение теоремы 4.4.7 сохраняет силу для

Теоремы 4.4.6 и 4.4.7 выполняются для при каждом значении Их можно обобщить таким образом, чтобы они выполнялись одновременно для при фиксированном Однако мы заинтересованы в аналогичных предельных результатах либо для всех либо для всех в интервале . В любом из этих случаев число точек не является фиксированным конечным числом.

Уиттл (1952) высказал утверждение о том, что модифицированные оценки максимального правдоподобия и X являются

состоятельными [см. также М. Рао (I960)], а А. Уолкер (1968) дал строгое доказательство этого факта, показав, кроме того, что

Уиттл утверждал также, что эти оценки распределены асимптотически нормально, с ковариационной матрицей, приводимой ниже (правда, Уиттл допустил незначительную ошибку). Уолкер дал строгое доказательство того, что и имеют в пределе совместное нормальное распределение с нулевыми средними и ковариационной матрицей

Доказательства этих результатов крайне длинны и сложны. Заслуживает внимания то обстоятельство, что дисперсия к имеет порядок вместо обычного и иногда встречающегося Предположения Уолкера состоят в том, что , а величины независимы и одинаково распределены со средними 0 и дисперсиями .

Существенным для получения соотношения (77) [А. Уолкер (1965)] является доказательство сходимости по вероятности к нулю величин

одновременно для всех Пусть . Уолкер (1965) доказал следующий результат.

Теорема 4.4.8. Если величины независимы, имеют нулевые средние и дисперсии то

Доказательство, Имеем

Однако

для каждого Поэтому соответствующее математическое ожидание оценивается величиной

(см. скан)

Отсюда вытекает, что

Утверждение теоремы следует из этого результата и из обобщенного неравенства Чебышева.

Уиттл (1959) при дополнительном предположении, что для некоторого получил равенство

Из соотношения (57) § 4.3 вытекает, что в случае, когда величины нормально распределены,

Интересно отметить, что максимальное значение по всем действительным значениям стохастически подобно максимальному значению взятому по множеству