Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
5.2.2. Моменты второго порядка. Ковариационная функция
Если совместные распределения нормальны, то они полностью характеризуются средними которые мы из соображений удобства временно будем полагать равными нулю, дисперсиями и ковариациями . В случае когда совместные распределения отличны от нормальных, эти моменты первого и второго порядков тем не менее несут существенную информацию о рассматриваемом процессе. Например, корреляция между (т. е. отношение ) является мерой связи этих двух случайных величин.
Если процесс стационарный (в частности, если может быть представлен в виде (28)), то все дисперсии совпадают, а ковариации зависят только от разности индексов рассматриваемых случайных величин. Эти моменты
образуют в совокупности так называемую ковариационную функцию (иногда называемую корреляционной функцией). В этой книге мы будем называть корреляционной функцией нормированную функцию
Покажем, что ковариационная функция удовлетворяет однородному разностному уравнению (40). Умножая (1) на (28) с заменой на получаем
Поскольку математическое ожидание обеих частей (46) удовлетворяет для соответственно соотношениям
Эти соотношения часто называют уравнениями Юла-Уолкера. Таким образом, последовательность удовлетворяет однородному разностному уравнению (48) и поэтому
если корни различны и (так что ). Граничными условиями будут соотношений
и соотношение (47), в котором а заменяется на (причем а не обязательно имеет вид (49)). Последнее условие служит для определения величины коэффициента пропорциональности.
Если то является показательной функцией Если различны, то
Если действительны, то будет линейной комбинацией двух показательных функций. Если же они комплексно сопряжены и равны то (51) принимает вид
и представляет собой затухающую линейную комбинацию функций от синусоидального типа.
Поскольку является линейной комбинацией возведенных в степень корней характеристического уравнения и все эти корни лежат в единичном круге, то ограничена сверху показательно убывающей функцией. Именно, для надлежащим образом выбранного Положительный корень вносит вклад в виде убывающей показательной функции; отрицательный — в виде знакопеременной показательной функции, убывающей по абсолютной величине, Пара комплексно сопряженных
корней дает осциллирующую тригонометрическую функцию, убывающую по абсолютной величине. При этом период ее колебаний зависит от аргумента этих комплексных корней.