5.5.2. Асимптотическая эквивалентность выборочных моментов второго порядка двух процессов

Рассмотрим сумму в которой порождается с помощью (1) при заданном так что

Наряду с ней рассмотрим сумму которой удовлетворяет соотношению (1) при всех , так что

Покажем, что матрица нормированная делением на или на сходится по вероятности к нулевой матрице,

Из (5) и (6) следует, что где

Поэтому

Сумма математических ожиданий квадратов элементов матрицы равна

в силу того, что вектор (зависящий от ) не зависит от (поскольку последние зависят только от

Лемма 5.5.1. Для любого X, большего абсолютной величины максимального по абсолютной величине характеристического корня матрицы —В, найдется такая константа с, что все элементы матрицы будут меньше

Доказательство. Матрицу можно записать в виде

где матрица диагональная и ее диагональ состоит из характеристических корней матрицы невырожденная матрица. В качестве указанной константы с можно взять произведение следующих трех чисел: порядка максимального абсолютного значения элементов матрицы С и максимального абсолютного значения элементов матрицы

Поскольку

для и удовлетворяющих условию леммы 5.5.1,

где с — константа из леммы 5.5.1. Оценивая произведением и используя для оценки последнего неравенство (12), мы можем оценить абсолютную величину второго из сомножителей, стоящих под знаком суммы в правой части (9).

Что касается первого сомножителя, то его абсолютная величина ограничена значением где К равно произведению и максимума абсолютных значений элементов матрицы Поэтому

Таким образом, правая часть (9) не превосходит некоторой не зависящей от постоянной. Отсюда и из неравенства Чебышева следует, что первая и вторая суммы в правой части (8), нормированные делением на сходятся по вероятности к нулю.

Третья сумма в правой части (8) является положительно полуопределенной. Ее математическое ожидание равно

След этой матрицы ограничен произведением максимального абсолютного значения элементов матрицы так что он равномерно ограничен по Т. Применение неравенства Чебышева в форме, используемой для неотрицательных случайных величин, показывает, что сумма диагональных элементов матрицы, представляющей третью сумму в правой части (8), деленная на сходится по вероятности к нулю.

Поскольку эта матрица положительно полуопределенная, отсюда следует, что вообще все ее элементы сходятся по вероятности к нулю. Таким образом, показано, что разность деленная на сходится по вероятности к нулю. Рассмотрим теперь разность

Сумма математических ожиданий квадратов элементов второго слагаемого правой части равна

и ограничена произведением чисел максимального абсолютного значения элементов матрицы Поэтому она равномерно ограничена по Т. Отсюда следует, что второе слагаемое правой части (15), деленное на сходится по вероятности к нулю. Поскольку

и последние четыре члена в правой части последнего соотношения сходятся по вероятности к нулю, то левая часть (17) сходится к нулю. Объединяя этот результат с предыдущим, получаем, что разность (15), деленная на сходится по вероятности к нулю.

Теорема 5.5.1. Пусть процесс удовлетворяет соотношению (1) для - фиксированный вектор, а процесс удовлетворяет соотношению (1) для всех кроме того, случайные величины независимы, и все характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге. Тогда

Смысл этой теоремы заключается в том, что. асимптотические свойства матриц В и (состоятельность и асимптотическая нормальность) будут одними и теми же и для процесса и для процесса Иметь дело с процессом более удобно, поскольку он является стационарным.