6.6.2. Некоторые функции регрессии

При изучении случая ненулевых средних можно рассматривать средние и более общего вида. Предположим, что

где характеристические векторы,

некоторое подмножество значений Векторы ортогональны: Показатель экспоненты соответствующей нормальной плотности равен тогда —1/2, умноженной

Таким образом, образуют достаточное множество статистик для параметров Эквивалентным ему достаточным множеством статистик будет

и

Заметим, что оценки наименьших квадратов (31) параметров получаемые минимизацией также являются марковскими, т. е. наилучшими линейными несмещенными оценками, поскольку характеристические векторы (См. § 2.4.)

В качестве примера рассмотрим матрицы из циклической модели разд. 6.5.2. Характеристические корни матрицы равны Соответствующие характеристические векторы имеют в качестве компонент величины дляя если четное, или если нечетное. Характеристический вектор ( соответствует корню Если четное, то имеется еще характеристический вектор соответствующий корню Эти характеристические векторы образуют последовательности, которые были использованы при рассмотрении периодических трендов в гл. 4. Предположим, что где составляют подмножество множества целых чисел если четное, или если нечетное.

Если четное, можно предполагать также, что

Индекс в (27) соответствует в (33). Оценки наименьших квадратов коэффициентов даются соотношениями

и, если четное,

Положим

или, если четное,

Циклический сериальный коэффициент корреляции порядка, использующий остатки от подобранного периодического тренда, есть

или, если четное,

[См. Р. Андерсон, Т. Андерсон (1950).]

Для рассмотренных здесь случаев также можно сформулировать наилучшие критерии и процедуры со многими решениями.

В примере 4.1 гл. 4 приведены ежемесячные данные о поступлении масла на пяти рынках в течении трех лет. Оценка тренда использующая двенадцать тригонометрических функций (включая константу), указана в табл. 4.1. Циклический сериальный коэффициент корреляции первого порядка, использующий остатки, равен

Вычисление в (41) проведено с округленными остатками для облегчения чтения.