8.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНЕГО, КОВАРИАЦИЙ, СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ И ИХ МОМЕНТОВ
8.2.1. Определения и некоторые соотношения
Пусть 
последовательных наблюдений случайного процесса 
стационарного в широком смысле. Среднее значение и ковариационная последовательность равны
Допустим, что спектральная функция абсолютно непрерывна, а ее спектральная плотность есть 
Тогда
Если
то спектральная плотность непрерывна и
Несмещенной оценкой для 
является
Если 
известно, то несмещенная оценка для 
есть
Если 
неизвестно, то по аналогии можно построить следующую оценку
Возможны еще и другие оценки такие как
где
Удобно рассмотреть также
и
Согласно определениям гл. 4 положим
Последнее выражение для 
есть выборочная спектрограмма. Заметим, что 
Мы можем определить также
Из свойств ортогональности 
следует
и 
Выборочная спектральная плотность равна
когда 
известно. Если 
неизвестно, то
хотя можно рассмотреть и другие определения [соответствующие (9) для ковариационной последовательности]. Функции 
и 
следует рассматривать как оценки для 
Теорема 8.2.1.
Доказательство. Имеем 
где 
Отсюда следует (23). Заменяя 
на у, получаем (24).
Теорема 8.2.2.
Доказательство. Эти равенства следуют из свойств ортогональности 
и теоремы 8.2.1.
Выборочные ковариации и спектральные плотности связаны точно так же, как и в исходном процессе. Формулы (23) и (24) аналогичны (5), а (26) и (27) соответствуют (3).
