удовлетворяют соотношениям
Поскольку эти соотношения можно записать в виде
и при этом
то матрица
должна быть вырожденной. Иными словами,
является корнем уравнения
Если матрица А симметрична (а это мы предполагаем для квадратичных форм
то все корни (2) и компоненты характеристических векторов будут вещественными. Если все эти корни различны, то характеристические векторы ортогональны. Если
корней совпадают и равны, скажем, X, то при этом существует
линейно независимых решений уравнения
Каждое такое множество может служить совокупностью характеристических векторов, соответствующих
-кратному корню
Удобно выбирать это множество таким образом, чтобы входящие в него векторы были взаимно ортогональны. При этом они необходимо будут ортогональны и остальным характеристическим векторам. Если каждый характеристический вектор нормировать так, чтобы сумма квадратов его компонент равнялась 1, то получим соотношения
где
при
Положим
Тогда (1) и (3) можно записать соответственно в виде
Если умножить обе части (5) слева на матрицу V, то придем к соотношению
Иными словами, ортогональная матрица V диагонализирует симметрическую матрицу А. При этом квадратичная форма
приводится с помощью преобразования
к диагональному виду
Мы используем эти преобразования для того, чтобы упростить задачу отыскания распределений квадратичных форм и сериальных коэффициентов корреляции.
Доказательство теоремы. Пусть
Тогда утверждение теоремы вытекает из доказанных двух лемм.