6.5. МОДЕЛИ: СИСТЕМЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

6.5.1. Общее обсуждение

Плотности распределений случайных величин составляющих наблюдаемые временные ряды, которые мы здесь рассматриваем, предполагаются нормальными. В показателе экспоненты этих плотностей будут стоять суммы , где квадратичная форма по Сериальные коэффициенты корреляции, получаемые из таких сумм, равны - В этом параграфе будет предложено несколько различных систем матриц . В каждой из них будет близка к как это предполагалось в § 6.2. Коэффициенты в каждой из этих систем можно использовать для проверки гипотез о порядке зависимости, в соответствии с теорией § 6.3, и для выбора порядка зависимости согласно § 6.4.

Для того чтобы быть подготовленными к анализу указанных систем матриц, рассмотрим сначала множества матриц в общем плане. Характеристические корни и соответствующие им характеристические векторы матрицы А размера

удовлетворяют соотношениям

Поскольку эти соотношения можно записать в виде и при этом то матрица должна быть вырожденной. Иными словами, является корнем уравнения

Если матрица А симметрична (а это мы предполагаем для квадратичных форм то все корни (2) и компоненты характеристических векторов будут вещественными. Если все эти корни различны, то характеристические векторы ортогональны. Если корней совпадают и равны, скажем, X, то при этом существует линейно независимых решений уравнения Каждое такое множество может служить совокупностью характеристических векторов, соответствующих -кратному корню Удобно выбирать это множество таким образом, чтобы входящие в него векторы были взаимно ортогональны. При этом они необходимо будут ортогональны и остальным характеристическим векторам. Если каждый характеристический вектор нормировать так, чтобы сумма квадратов его компонент равнялась 1, то получим соотношения

где при Положим

Тогда (1) и (3) можно записать соответственно в виде

Если умножить обе части (5) слева на матрицу V, то придем к соотношению

Иными словами, ортогональная матрица V диагонализирует симметрическую матрицу А. При этом квадратичная форма приводится с помощью преобразования к диагональному виду Мы используем эти преобразования для того, чтобы упростить задачу отыскания распределений квадратичных форм и сериальных коэффициентов корреляции.

Нас будут интересовать системы матриц Обычно При этом любой ненулевой вектор является характеристическим для I и любая ортогональная матрица V диагонализирует I, так как Оказывается весьма удобным, чтобы все приводились к диагональному виду с помощью одной и той же матрицы V, т. е. чтобы

Это будет иметь место, если будут характеристическими корнями для каждой из матриц . В связи с этим полезна следующая теорема.

Теорема 6.5.1. Если характеристические корни, а — характеристические векторы матрицы А и если полином от А, то характеристическими корнями и векторами матрицы будут соответственно

Для доказательства этой теоремы мы используем следующие две леммы.

Лемма 6.5.1. Пусть и — соответственно характеристические корни и характеристические векторы матрицы А. Тогда будут соответственно характеристическими корнями и характеристическими векторами матрицы

Доказательство леммы Мы будем доказывать эту лемму по индукции. Прежде всего очевидно, что она справедлива для Предположим, что она справедлива для . Тогда

Лемма 6.5.2. Пусть соответственно характеристические корни и характеристические векторы матрицы Тогда характеристическими корнями и характеристическими векторами матрицы будут соответственно и

Доказательство леммы. Имеем

Доказательство теоремы. Пусть

Тогда утверждение теоремы вытекает из доказанных двух лемм.