4.2.2. Представление конечной последовательности с помощью ее частот

Рассмотрим последовательность чисел (которая не обязательно является наблюдаемым временным рядом). Эту последовательность можно рассматривать как совокупность координат некоторой точки в пространстве измерений. Указанная точка может быть отнесена и к другим координатным системам. Иногда координаты относительно другой системы будут более осмысленными. Мы используем надлежащим образом нормированные ортогональные тригонометрические функции для того, чтобы определить ортогональную матрицу, посредством которой будут преобразованы координаты Если четное, то матрицу размера определим равенством

Из соотношений ортогональности (9) — (13) выводим, что

и

Таким образом, матрица ортогональна. Положим, далее,

т. е.

Тогда, поскольку имеем

Разложение (20) называют иногда представлением Фурье последовательности с коэффициентами

Если нечетное, то матрицу определим равенством

Соответствующее представление Фурье имеет вид

(В некотором смысле проще оперировать с унитарной матрицей удовлетворяющей соотношению в котором число, сопряженное с Отметим, что