7.2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
7.2.1. Определения
Случайным процессом с дискретным временем называется бесконечная последовательность случайных величин 
или 
Наблюдение процесса, часто называемое реализацией есть точка в соответствующем бесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятность определяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот класс множеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединение и пересечение счетного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этом классе множеств определяется таким образом, что вероятность объединения непересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.
Практически мы интересуемся вероятностями, которые связаны с конечным числом случайных величин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения 
а также вероятности, полученные из нее. Потребуем, чтобы в класс измеримых множеств входили множества 
Множества, которые определяются в терминах конечного числа координат 
называются цилиндрическими множествами. Таким образом, вероятностная мера случайного процесса всегда определяет вероятности цилиндрических (измеримых) множеств, в частности считаются известными функции совместного распределения.
Наоборот, пусть заданы конечномерные функции совместного распределения 
тогда на бесконечномерном пространстве вероятностную меру можно определить таким образом, что вероятностная мера цилиндрических множеств согласуется с 
в том смысле, что может быть вычислена по соответствующим 
Это расширение единственно. Согласованность семейства 
означает: 
любая маргинальная (совместная) 
полученная из заданной 
приводит к соответствующей 
меньшего числа переменных, 
соответствующие наборам точек параметра написанным в различном порядке, согласованны. Точнее, пусть 
означает 
от 
любых 
(из множества 
или 
Потребуем выполнения равенств
где 
есть произвольная перестановка чисел (
Согласованное семейство 
определяет случайный процесс 
в том смысле, что 
для всех 
Это утверждение принадлежит Колмогорову (1933), доказательства его мы не приводим.
В качестве примера зададим 
как 
многомерных нормальных распределений, определив средние значения и дисперсии следующим образом:
Последовательность 
произвольна. Двойная последовательность 
должна удовлетворять обычным свойствам ковариаций, а именно 
для каждой пары 
и любая матрица
положительно пол у определен а (или, эквивалентно, неотрицательно определена. - Перев.). Эти условия определяют случайный процесс. Такой процесс называется гауссовским. Случайный процесс с дискретным временем называется стационарным (или стационарным в узком смысле), если распределение величин 
совпадает с распределением 
для любого конечного множества целых чисел 
и любого целого Это определение эквивалентно требованию того, что вероятностные меры последовательностей 
совпадают для любого целого 
Пусть существуют первые моменты, тогда из стационарности следует
или
для любых 
Поскольку распределения 
и совпадают, то из существования моментов второго порядка и стационарности следует
Подставляя 
получаем
В случае нормальных 
свойства (5) и (7) эквивалентны стационарности случайного процесса.
Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, или слабо стационарным, или стационарным второго порядка, если функция средних 
и ковариационная функция а 
определенные в (3) и (4), существуют и удовлетворяют соотношениям (5) и (7), т. е. средние постоянны и не зависят от времени, а ковариация любых двух значений зависит только от их расстояния во времени. Очевидно, любой процесс, стационарный в узком смысле и имеющий конечную дисперсию, является также стационарным и в широком смысле. (В рассмотренном выше нормальном случае стационарности в узком и широком смысле эквивалентны.)
