7.2. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

7.2.1. Определения

Случайным процессом с дискретным временем называется бесконечная последовательность случайных величин или Наблюдение процесса, часто называемое реализацией есть точка в соответствующем бесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятность определяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот класс множеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединение и пересечение счетного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этом классе множеств определяется таким образом, что вероятность объединения непересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.

Практически мы интересуемся вероятностями, которые связаны с конечным числом случайных величин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения а также вероятности, полученные из нее. Потребуем, чтобы в класс измеримых множеств входили множества

Множества, которые определяются в терминах конечного числа координат называются цилиндрическими множествами. Таким образом, вероятностная мера случайного процесса всегда определяет вероятности цилиндрических (измеримых) множеств, в частности считаются известными функции совместного распределения.

Наоборот, пусть заданы конечномерные функции совместного распределения тогда на бесконечномерном пространстве вероятностную меру можно определить таким образом, что вероятностная мера цилиндрических множеств согласуется с в том смысле, что может быть вычислена по соответствующим Это расширение единственно. Согласованность семейства означает: любая маргинальная (совместная) полученная из заданной приводит к соответствующей меньшего числа переменных, соответствующие наборам точек параметра написанным в различном порядке, согласованны. Точнее, пусть означает от любых (из множества или Потребуем выполнения равенств

где есть произвольная перестановка чисел ( Согласованное семейство определяет случайный процесс в том смысле, что для всех Это утверждение принадлежит Колмогорову (1933), доказательства его мы не приводим.

В качестве примера зададим как многомерных нормальных распределений, определив средние значения и дисперсии следующим образом:

Последовательность произвольна. Двойная последовательность должна удовлетворять обычным свойствам ковариаций, а именно для каждой пары и любая матрица

положительно пол у определен а (или, эквивалентно, неотрицательно определена. - Перев.). Эти условия определяют случайный процесс. Такой процесс называется гауссовским. Случайный процесс с дискретным временем называется стационарным (или стационарным в узком смысле), если распределение величин совпадает с распределением для любого конечного множества целых чисел и любого целого Это определение эквивалентно требованию того, что вероятностные меры последовательностей совпадают для любого целого

Пусть существуют первые моменты, тогда из стационарности следует

или

для любых Поскольку распределения и совпадают, то из существования моментов второго порядка и стационарности следует

Подставляя получаем

В случае нормальных свойства (5) и (7) эквивалентны стационарности случайного процесса.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, или слабо стационарным, или стационарным второго порядка, если функция средних и ковариационная функция а определенные в (3) и (4), существуют и удовлетворяют соотношениям (5) и (7), т. е. средние постоянны и не зависят от времени, а ковариация любых двух значений зависит только от их расстояния во времени. Очевидно, любой процесс, стационарный в узком смысле и имеющий конечную дисперсию, является также стационарным и в широком смысле. (В рассмотренном выше нормальном случае стационарности в узком и широком смысле эквивалентны.)