6.8. АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

6.8.1. Аппроксимация распределений циклических сериальных коэффициентов корреляции

Хотя распределение циклического сериального коэффициента корреляции, использующего остатки от выборочного среднего, является известным и довольно простым в случае независимых нормальных наблюдений и хотя оно частично затабулировано (табл. 6.1), тем не менее удобно использовать для определения процентных точек и оценки вариабельности аппроксимирующие распределения. Мы рассмотрим также аппроксимации для распределения циклического сериального коэффициента корреляции вычисляемого по наблюдениям, измеренным относительно их известного среднего значения. Эти аппроксимации достаточно просты из-за симметричности аппроксимирующих распределений.

Большинство аппроксимаций основано на подборе соответствующего бета-распределения с плотностью

для в противном случае. Момент порядка этой плотности есть

В частности,

Если то указанная плотность симметрична и имеет вид

Моменты нечетного порядка равны нулю, а моменты четных порядков

Замечая, что при интеграл в левой части (8) равен 1, получаем отсюда формулу удвоения для гамма-функции

Используя этот факт, выражения (7) и (8) для плотности и четных моментов можно записать соответственно в виде

В частности,

Подобного рода плотность имеет обычный пирсоновский коэффициент корреляции построенный по остаткам от выборочных средних пар независимых наблюдений, выбираемых из двумерной нормальной совокупности с нулевой корреляцией. Плотность его распределения равна

а момент порядка есть

Заметим теперь, что моменты нечетного порядка у равны нулю. Само распределение для симметрично, если четное. Четные моменты низших порядков коэффициента имеют вид

Ввиду этого плотность можно аппроксимировать плотностью (14) пирсоновского коэффициента корреляции с При этом точное и аппроксимирующее распределения будут иметь совпадающие моменты вплоть до моментов порядка

Один из путей получения этих моментов и распределений состоит в аппроксимации производящей функции моментов квадратичной формы

Показатель экспоненты в правой части (17), равный

является интегральной суммой для интеграла

(По поводу последнего равенства см. упр. 69.) Это приводит к аппроксимации производящей функции моментов выражением

уже встречавшимся в разд. 6.7.7. Купменс (1942), используя эту идею, нашел выражение для аппроксимирующей плотности, а Рубин (1945) показал, что оно совпадает с (14) при

Перейдем теперь к рассмотрению циклического сериального коэффициента корреляции, использующего остатки от среднего. Поскольку четные моменты совпадают с соответствующими моментами если брать для построения на единицу меньшее число наблюдений, то здесь для аппроксимации можно было бы попытаться использовать распределение пирсоновского коэффициента корреляции При этом четные моменты точного и аппроксимирующего распределений будут совпадать до порядка однако моменты нечетных порядков не будут совпадать.

Другой путь использования бета-распределений состоит в том, что полагают и подбирают в (1) таким образом чтобы выполнялись в для Тогда для получаются следующие выражения:

Диксон (1944) сравнил такую аппроксимацию с точным распределением. (См. табл. 6.2.)

Еще один способ использования бета-распределения связан с учетом множества значений циклического сериального коэффициента корреляции. Приравнивая правые части (3) и (4) соответственно получаем

Таблица 6.2 (см. скан) ТОЧНОЕ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКОГО СЕРИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ, СТРОЯЩЕГОСЯ ПО ОСТАТКАМ ОТ ВЫБОРОЧНОГО

СРЕДНЕГО

Если четное, то изменяется в пределах —1 с так, что можно взять Если же нечетное, то и можно взять

Хеннан (1960) предложил использовать для аппроксимации тот факт, что величина распределена приближенно как пирсоновский коэффициент корреляции построенный

наблюдениям. Действительно, если взять

то

Округляя все эти значения до значений

получаем, что вместо исследования построенного по наблюдениям, можно исследовать построенный по наблюдениям. Предельным распределением для

является (Асимптотически эквивалентен из гл. 5.) Если использовать -преобразование Фишера

то величина асимптотически распределена по закону (Предложенная аппроксимация могла бы, по-видимому, быть обоснована заменой величины величиной где достаточно просто вычисляемая функция, незначительно превышающая единицу.)

Численное сравнение некоторых указанных аппроксимаций приведено в табл. 6.2. Следует отметить, что бета-аппроксимация оказывается здесь весьма точной для значений начиная с 15 или 20. Использование дает значительно меньшую точность аппроксимации; для большинства целей ее можно считать хорошей лишь при