В этом можно убедиться, используя тригонометрические тождества. (См. упр. 1, 2, 8 и 9.) Например,
Если бесконечный ряд (33) сходится к 
и если возможно его почленное интегрирование, то 
Отсюда определяется коэффициент
Подобным же образом
Если коэффициенты ряда (33) выбираются согласно (42), (43) и (44), то говорят, что этот ряд представляет 
Существует несколько теорем о сходимости подобных рядов при различных условиях. Одна из них утверждает, что если 
функция ограниченной вариации на замкнутом интервале 
то ряд (33) сходится к 
в каждой точке непрерывности последней. [См., например, Уиттекер и Ватсон (1943, стр. 174-179).] Мы не ставим своей целью изложение анализа рядов Фурье, а просто хотим показать, как периодическую функцию можно представить с помощью тригонометрических выражений.
определенную для всех действительных 
Если ее период равен 
то
а именно с помощью функций 
Рассмотрим бесконечный ряд, состоящий из таких функций:
при некотором значении 
то он будет сходиться к 
и при 
поскольку
Тригонометрические функции удовлетворяют следующим соотношениям нормировки и ортогональности:
используется для описания тренда, существенны только ее значения при 
Как было уже отмечено ранее, если функция 
имеет период 
и если 
равно целому числу 
то 
принимает только 
значений, а именно 
отношение 
не является целым, то каждое из этих 
значений не может наблюдаться одно и то же число раз.) В таком случае эту функцию можно представить при 
линейной комбинацией 
тригонометрических функций. Однако если 
не является целым числом, то в представление 
в 
точках пришлось бы включить возможно до 
членов. Важность приведенных соображений состоит в том, что даже если 
и не является целым числом, то 
все-таки может быть приближена относительно небольшим числом тригонометрических членов.
