10.2.4 Асимптотическая нормальность оценок

При условиях 10.2.1-10.2.4 в § 2.6 было показано, что оценки наименьших квадратов имеют асимптотически нормальное распределение, если независимые ошибки удовлетворяют условию типа Линдеберга. Мы докажем соответствующую теорему, когда случайные составляющие имеют вид и независимые случайные величины удовлетворяют условию типа Линдеберга. Подобная, но более слабая теорема была доказана Хеннаном (1961).

Теорема 10.2.11. Пусть где независимые случайные величины со средними 0, дисперсиями и функциями распределения Предположим, что выполнены условия 10.2.1-10.2.4 и, кроме того, при

Тогда имеет предельное нормальное распределение со средним 0 и ковариационной матрицей (94).

Доказательство. Поскольку

предельное распределение совпадает с предельным распределением умноженного на вектора Положим

Тогда

где суммирование по производится по тем значениям для которых заключены в пределах от 1 до Т. (Возможность

внесения математического ожидания под знак суммы по доказывается таким же способом, как и в разд. 8.4.3.) Отсюда получаем оценку сверху

которая стремится к нулю при

Для произвольного вектора рассмотрим

Сумма квадратов коэффициентов при в силу условия 10.2.2 сходится к 0 при Поэтому предельное распределение совпадает с предельным распределением умноженной на суммы где

Сумма квадратов коэффициентов при в (132) равна

что и дает в пределе Из центральной предельной теоремы Линдеберга (теорема 7.7.2) вытекает, что имеет предельное нормальное распределение со средним 0 и дисперсией 1 (в соответствии с доказательством теоремы 2.6.1). Применение следствия 7.7.1 приводит к утверждению теоремы.

Теорема 10.2.11 показывает, что при достаточно большой длине временного ряда с оценками наименьших квадратов можно обращаться так, как если бы они были нормально распределенными.

Предельная ковариационная матрица равна

если Ее можно оценить состоятельно с помощью оценок, аналогичных оценкам именно

где - оценка а основанная на остатках от ядро, типа изучавшегося в разд. 9.3.2. На основании этого можно строить критерии для проверки гипотез о векторе и доверительные интервалы для компонент этого вектора. [Многомерный случай рассматривается у Хеннана (1963)].