8.2.2. Моменты выборочного среднего и выборочных ковариаций

Среднее значение и дисперсия произвольной линейной комбинации

равны

где определено при доказательстве теоремы 8.2.1. Для того чтобы была несмещенной оценкой среднего должно выполняться равенство

Для данной ковариационной матрицы дисперсия величины удовлетворяющей (31), минимизируется величиной такой, что где

Это определяет среднее значение, если т. е. если характеристический вектор матрицы 2, т. е. если не зависит от (См. упр. 24 и 25 гл. 6.) Однако это выполняется не всегда.

Теорема 8.2.3. Дисперсия среднего значения у есть

Для доказательства нужно использовать следующее:

Оценка ковариации или спектральной плотности в данной точке является обычно квадратичной формой

Если и неизвестно, то матрицу выбирают так, чтобы не зависело от

Дисперсия квадратичной формы будет включать моменты четвертого порядка. Допустим, что моменты четвертого порядка существуют, т. е. Допустим также, что моменты четвертого порядка соответствуют стационарности, т. е. что

Для (34) введем обозначение Если есть гауссовский процесс, то этот момент четвертого порядка будет равен

В общем случае пусть

что является семиинвариантом четвертого порядка. [См. упр. относительно симметрии ]

Теорема 8.2.4. Среднее значение и дисперсия квадратичной формын определенной в (33), выражаются соотношениями

где

Доказательство. Искомые выражения для получаются непосредственно. Математическое ожидание равно

Заметим, что

где Два первых выражения для получаются непосредственно. Спектральное представление функции дает

так как Отсюда вытекают два последних выражения для в Пусть

(см. скан)

Это дает нам два последних выражения для Заметим, что теоремы 8.2.4 и 8.2.5 являются обобщениями лемм

Если процесс гауссовский, то семиинварианты четвертого порядка и (Они могут быть нулями и в случае негауссовского процесса.)

Вернемся теперь к моментам первого и второго порядков оценок величины Мы не будем пользоваться теоремами 8.2.4 и 8.2.5, а вычислим средние значения, дисперсии и ковариации непосредственно (поскольку каждую ковариацию можно записать одинарной суммой вместо двойной).

Если (А известно, оценка величины является несмещенной,

и, следовательно,

Смещение мало для малого и относительно велико для большого А (когда относительная выборочная вариабельность велика). Математическое ожидание величины равно

После очевидных, но весьма утомительных вычислений получаем следующие соотношения:

(см. скан)

Приведенные оценки являются смещенными, порядок смещения равен Это будет показано в § 8.3.

Математическое ожидание величины можно также выразить с помощью спектральной плотности. Из (50) имеем

Математическое ожидание величины равно

Так как то выразится формулой (51). Поэтому из (57) следует

Другие случаи рассматриваются в упр. 10.

Эти математические ожидания можно выразить также при помощи спектральной плотности, а именно

Вернемся теперь к вычислению дисперсий и ковариаций этих оценок для величин

Теорема 8.2.6.

(см. скан)

Отсюда вытекают и все последующие равенства в (60).

В частности,

(см. скан)

Если процесс гауссовский, то семиинварианты четвертого порядка в приведенных выше выражениях обращаются в нуль.

Вычисление ковариаций для выборочных ковариаций, когда имеются отклонения от выборочного среднего, более трудоемко. Рассмотрим

Тогда

(см. скан)

(См. упр. 11.) Ковариации величин могут быть найдены аналогичным образом.