6.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЕРИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ

6.7.1. Общая задача

Различные коэффициенты сериальной корреляции, рассматривавшиеся в предыдущих параграфах, представляют собой отношения квадратичных форм вида где Нас будут интересовать их распределения в случае, когда у имеет многомерное нормальное распределение с ковариационной матрицей 2. Имея в виду приложения к другим задачам, обсуждение вопроса будем вести в достаточно общих условиях. В настоящей главе при рассмотрении различных приложений соответствующая плотность будет иметь в показателе экспоненты квадратичную форму с матрицей . В простейших случаях в ряде других

где так что при этом

В некоторых случаях матрицы таковы, что является квадратичной формой от разностей между у и некоторой более общей функцией регрессии. При этом

где V — матрица с строками и рангом, равным числу ее столбцов. Если мы будем писать вместо вместо . В тех случаях, когда задается соотношением (1), вместо будем писать соответственно

Теорема 6.7.1. Если вектор у имеет распределение то совместное распределение статистик определяемых соотношением (4), не зависит от вектора

Доказательство. Пусть Тогда вектор и распределен согласно и

Если и то условная плотность для при заданных значениях равна

где

(последнее выражение предполагается положительным), так что она не зависит от параметров Это равносильно тому, что условное распределение величин при заданных значениях не зависит от Именно это условное распределение будет использовано для проверки нулевой гипотезы о том, что порядок зависимости меньше (т. е. ). Получать указанное распределение оказывается удобным, приписывая мешающим параметрам значения Это условное

распределение при не зависит от (поскольку инвариантны относительно преобразования масштаба

Следующие лемма и теорема будут полезны в дальнейшем.

Лемма 6.7.1. Условная плотность распределения величины при заданных значениях где совпадает с условной плотностью т. е. с условной плотностью распределения при заданных значениях которой параметр у. заменяется на

Доказательство. Квадратичную форму можно записать в виде где вектор имеет плотность, показатель экспоненты которой равен —1/2, умноженной на Таким образом, имеет совместную плотность, совпадающую с совместной плотностью распределения случайных величин в которой параметр заменен на Отсюда и следует утверждение леммы.

Теорема 6.7.2. Условная плотность распределения величины при заданных значениях равна

Если , эта условная плотность не зависит от

Доказательство. В силу леммы 6.7.1, условная плотность распределения при заданных значениях совпадает с условной плотностью распределения величины для при заданных значениях (с заменой параметра на Этим доказана первая часть теоремы. Если легко проверить, что условная плотность (9) не зависит от Для этого достаточно подставить в (7) и (8) аргументы выражения (9).

Если из теоремы 6.7.2 вытекает, что совместная условная плотность распределения при заданном значении (являющаяся произведением условных плотностей вида не зависит от Таким образом, условная плотность величины при заданном значении не зависит от

Следует отметить, что лемма 6.7.1 и теорема 6.7.2 также справедливы для