Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
4.2.1. Ортогональные периодические функции
Тригонометрические функции являются периодическими с периодом т. е.
Отсюда следует, что
Мы можем линейно преобразовать аргументы, сохранив свойство периодичности. Функции периодичны с периодом т. е.
Обратная величина называется частотой. Она равна числу периодов (не обязательно целому), содержащемуся в единичном интервале. Иными словами, именно такое число раз функция повторяет свои значения. Умножение на X соответствует растяжению или сжатию масштаба времени, а вычитание — сдвигу графика косинуса или синуса. Функция достигает максимума в точках т. е. при Угол называется фазой. Обычно 0 выбирается так, чтобы первый максимум достигался в точке . В таком случае При указанные тригонометрические функции равны, соответственно
Сдвинутые косинусоида и синусоида являются линейными комбинациями обычной косинусоиды и обычной синусоиды и наоборот. Из тригонометрической формулы имеем
или, что эквивалентно,
Коэффициент являющийся максимумом функции называется амплитудой этой функции. Выражение (4) можно записать также в виде где но обычно предпочитают использовать функцию косинус.
С тригонометрическими функциями довольно удобно работать вследствие тогоу что они обладают определенными свойствами ортогональности. Мы рассмотрим здесь свойства ортогональности сумм на множестве Они соответствуют свойству ортогональности полиномов, разбиравшемуся ранее в разд. 3.2.1. Рассмотрим частоты где для четных и для нечетных Т. Период при этом равен На протяжении всего отрезка наблюдений уклады вается ровно таких периодов. Функции косинус и синус с такими частотами являются ортогональными. Чтобы показать это, удобно воспользоваться соотношениями
При
Приравнивая действительные и мнимые части в соотношении (8), получаем
Подобным же образом можно показать, что
Кроме того, полагая в (9) и (10), получаем
Если — нечетное, то При этом образуют множество из последовательностей по чисел, любые две из которых ортогональны. Если —четное, то таким множеством является совокупность функций Сумма квадратов членов каждой последовательности равна , за исключением последовательностей у которых она равна
являются периодическими с периодом 
т. е.
периодичны с периодом 
т. е.
называется частотой. Она равна числу периодов (не обязательно целому), содержащемуся в единичном интервале. Иными словами, именно такое число раз функция повторяет свои значения. Умножение на X соответствует растяжению или сжатию масштаба времени, а вычитание 
— сдвигу графика косинуса или синуса. Функция 
достигает максимума в точках 
т. е. при 
Угол 
называется фазой. Обычно 0 выбирается так, чтобы первый максимум достигался в точке 
. В таком случае 
При 
указанные тригонометрические функции равны, соответственно 
имеем
являющийся максимумом функции 
называется амплитудой этой функции. Выражение (4) можно записать также в виде 
где 
но обычно предпочитают использовать функцию косинус.
Они соответствуют свойству ортогональности полиномов, разбиравшемуся ранее в разд. 3.2.1. Рассмотрим частоты 
где 
для четных 
и 
для нечетных Т. Период при этом равен 
На протяжении всего отрезка наблюдений 
уклады вается ровно 
таких периодов. Функции косинус и синус с такими частотами являются ортогональными. Чтобы показать это, удобно воспользоваться соотношениями
в (9) и (10), получаем 
— нечетное, то 
При этом 
образуют множество из 
последовательностей по 
чисел, любые две из которых ортогональны. Если 
—четное, то таким множеством является совокупность функций 
Сумма квадратов членов каждой последовательности равна 
, за исключением последовательностей 
у которых она равна 