6.2. ТИПЫ МОДЕЛЕЙ

В гл. 5 мы изучали временные ряды, порожденные стохастическим разностным уравнением порядка

где последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними и дисперсиями Если распределение величин задано, а не зависит от для то распределение величин будет полностью определять совместное распределение являющихся наблюдаемыми величинами. Если, к тому же, случайные величины являются одинаково распределенными, то совместное распределение величин можно подобрать таким образом, что будут образовывать стационарный случайный процесс, если только все корни соответствующего характеристического уравнения лежат в единичном круге. [В разд. 5.2.1 было показано, что для того, чтобы случайный процесс удовлетворяющий стохастическому разностному уравнению (1), был стационарным и величина не зависела от необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения, соответствующего (1), лежали в единичном Если является единственным неизвестным параметром распределения случайной величины то параметрами процесса будут

Займемся рассмотрением временных рядов, имеющих совместные нормальные распределения с нулевыми средними. Случай, когда средние отличны от нуля, будет рассмотрен в этой главе позднее. Модели с нормальными распределениями называются гауссовскими. В таких моделях совместное распределение величин определяется полностью заданием ковариационной матрицы этих величин, которую будем обозначать Пусть

Тогда плотность совместного распределения величин равна

а плотность совместного распределения равна

Поэтому плотность совместного распределения есть

Выражение в показателе экспоненты, заключенное в квадратные скобки, равно

(Мы предполагаем ) Представим (6) в виде где

Если выбирается так, чтобы процесс оказался стационарным, то из соотношения

следует, что элемент, стоящий на пересечении строки и столбца матрицы совпадает с элементом строки и столбца той же матрицы. Ввиду этого указанная квадратичная форма по переменным будет иметь точно такой же вид, как и квадратичная форма по переменным , т. е. Коэффициенты последней можно получить из соотношения (6).

Заметим, что в квадратичной форме (6) отсутствуют слагаемые Для которых . С точностью до крайних членов эта квадратичная форма является линейной комбинацией сумм

именно

Коэффициенты этой квадратичной формы (в количестве задают преобразование параметров Гипотезы и задачи со многими решениями можно формулировать, используя эти коэффициенты. Отметим, что является коэффициентом при

Последние члены в (6) [точнее две последние суммы в правой части (6)] также являются некоторыми функциями от Отсюда следует, что достаточное множество статистик будут составлять здесь сумм кроме того, некоторые из произведений и . В свою очередь тот факт, что число статистик в минимальном достаточном множестве много больше, чем число оцениваемых параметров, не дает возможности поставить задачи статистических выводов таким образом, чтобы они приводили к относительно простым оптимальным процедурам.

Если значение довольно велико по сравнению с то суммы будут доминировать над остальными членами. Это наводит на мысль заменить (5) такой плотностью, которая использовала бы те же самые суммы, но в которой крайние члены были бы изменены таким образом, чтобы можно было получить семейство только достаточных статистик.

Предположим, что плотность совместного распределения величин имеет вид

где квадратичная форма по

заданные симметрические матрицы, причем положительно определена, а параметры, такие, что квадратичная форма

положительно определена. При этих условиях (9) является многомерной нормальной плотностью. Константа

зависит от значений и имеет вид

Обычно в качестве будет браться единичная матрица Связь между параметрами в (9) и (5) следующая:

Заметим, что тогда и только тогда, когда Обычно квадратичная форма равна плюс квадратичная форма по переменным плюс подобная ей квадратичная форма по переменным Эти квадратичные формы выбираются соответствующим образом (например, с общими характеристическими векторами). Три примера систем квадратичных форм приводятся в § 6.5.

С помощью этой модели рассмотрим проверку гипотезы о том, что для определенных заранее значений . В частности, нас будет интересовать случай Наиболее важным является случай, когда Поэтому в литературе ему уделяется особое внимание. Мы найдем критерий, равномерно наиболее мощный против альтернатив (или, что эквивалентно, а также равномерно наиболее мощный несмещенный критерий. Реальное использование этих критериев целиком зависит от степени разработанности теории и наличия необходимых таблиц.

Другой тип задач, которым мы будем заниматься, это процедура со многими решениями для выбора наибольшего индекса при котором еще среди Последний будет представлять собой порядок зависимости. Мы зададимся вероятностью завышения порядка для случая, когда порядок на самом деле равен и потребуем, чтобы процедура была равномерно наиболее мощной против альтернатов о положительной зависимости или равномерно наиболее мощной несмещенной процедурой Такие процедуры строятся из ряда критериев проверки гипотез подобно тому, как это было сделано в разд. 3.2.2. [См. Т. Андерсон (1963).]