6.7.7. Моменты и производящие функции моментов

Если

Моменты величин могут быть найдены из характеристических функций этих величин или из производящих функций их моментов (моменты положительного порядка получаются

дифференцированием, а моменты отрицательного порядка — интегрированием). Однако при нулевой гипотезе независимости более эффективным является вычисление этих моментов с использованием факта независимости (теорема 6.7.2).

Лемма 6.7.8. Если то

Теорема 6.7.9. Если то

Доказательство. Это следует непосредственно из леммы 6.7.8, если в последней положить .

Если то справедливо аналогичное соотношение

Обычно квадратичная форма имеет канонический вид При этом она распределена по закону степенями свободы. Аналогично, имеет канонический вид распределена по закону степенями свободы. Соответствующие моменты равны

Для отыскания удобнее использовать производящие функции моментов. Если где произвольная симметрическая матрица с характеристическими корнями то из следствий 6.7.1 и 6.7.2 получаем для достаточно малых значений

(См. упр. 29.) Вычислим (88) для первых трех частных моделей, определенных в § 6.5.

Лемма 6.7.9. Пусть в матрице элементы, расположенные на диагоналях, смежных с главной, равны 1/2, а остальные элементы

равны нулю. Тогда определитель равен

Доказательство. Разлагая определитель по элементам первой строки, получаем

где Таким образом, удовлетворяет разностному уравнению

Характеристическое уравнение последнего

имеет корни Поэтому решением (91) для будет

Постоянные определяются из условий для Это и доказывает лемму, необходимую для изучения модели разд. 6.5.4.

Лемма 6.7.10. Определитель где матрица определяется сериальным циклическим коэффициентом корреляции

первого порядка, равен

Доказательство. Разлагая определитель (сначала по элементам его первой строки, а затем по элементам первых столбцов полученных определителей), получаем

(см. скан)

Подстановка сюда выражения (89) приводит к (94). Для имеем и поэтому

Лемма 6.7.11. Определитель где матрица соответствует модели с последовательными разностями, равен

Доказательство. Разлагая определитель С (сначала по элементам его первой строки, а затем по элементам последней строки одного из получаемых определителей и по элементам первого столбца другого), имеем

(см. скан)

(см. скан)

Подстановка сюда выражения (89) дает

Перегруппировка приводит к (96) для . В справедливости же (96) для можно убедиться непосредственным подсчетом.

Если в (96) раскрыть по формуле бинома Ньютона обе входящие в это выражение степени, получим

где если нечетное, и если четное.

Лемма 6.7.12. Если является характеристическим вектором матрицы соответствующим характеристическому корню то

для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.

Доказательство. Эта лемма является частным случаем следствия 6.7.2.

Теорема 6.7.10. Производящая функция моментов квадратичной формы основанной на последовательных разностях, при имеет вид

для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.

Теорема 6.7.11. Производящая функция моментов квадратичной формы основанной на последовательных разностях, при имеет вид

для всех 0, достаточно малых по абсолютной величине.

Следует отметить, что (102) совпадает с выражением которое является производящей функцией моментов квадратичной формы определенной в разд. 6.5.4 для наблюдений.

Моменты циклической квадратичной формы можно найти из производящей функции моментов

для 0, достаточно малых по абсолютной величине. Лаплас (1829) показал, что если и является корнем с уравнения то

Вывод этого разложения не будет здесь приводиться из-за его сложности. Если положить получим

Поскольку, далее,

то второй член в квадратных скобках в (103) представляет собой степенной ряд по 0, начинающийся с как с самой низкой степени. Таким образом, выражение в квадратных скобках представляет собой ряд, состоящий из 1 и степеней 0, не меньших Т. Моменты квадратичной формы до порядка получаются как

(См. упр. 51.) Из находим, что

Из этого результата, соотношения (87), замечания, сделанного вслед за теоремой 6.7.9, и формулы удвоения для гамма-функции

получаем

Моменты циклического сериального коэффициента корреляции использующего остатки от среднего, равны отношениям соответствующих моментов квадратичных форм Моменты квадратичной формы можно найти, используя производящую функцию моментов, приведенную в теореме 6.7.10. При этом моменты до порядка можно получить, используя следующую аппроксимацию последней:

Дело в том, что первые производных функций (111) и (101) совпадают при

Лемма 6.7.13. Пусть

и

Тогда для действительных

Доказательство. Правая часть (114) равна

Но это и есть если 0 действительное

Из леммы 6.7.13 и того факта, что разлагаются в ряды по четным степеням , вытекают следующие соотношения. Во-первых,

что равно . И, во-вторых,

в свою очередь равное для Здесь обозначают соответственно квадратичные формы построенные по наблюдениям. Ограничения относительно значений и введены здесь для того, чтобы сохранить правые части в таком виде, в каком они определялись ранее. Таким образом,

Тогда

Заметим, что Кроме того, совпадает с если вычислять по наблюдениям.

Найти интересующие нас моменты можно и другим путем. Для этого заметим, что причем независимы

Тогда имеем

Рассмотрим теперь квадратичную форму общего вида, имеющую характеристические корни Тогда при

При этом семиинвариант равен умноженному на величину

и (123) можно переписать в виде

где

Другие можно вычислить, воспользовавшись предыдущим тождеством. Из (125) получаем теперь

Если (как это имеет место для квадратичной формы в случае использования последовательных разностей),

то Тогда

Если то для четных

Сумма, стоящая в квадратных скобках, равна если делится на без остатка (включая значение и равна 0 в противном случае. Поэтому

где знак 2 указывает, что суммирование ведется по тем значениям для которых делится нацело на Т. То есть это будут значения вида Поскольку

то

Число слагаемых под знаком суммы равно 0, если единице, если двум, если . В частности,

так что при этом

(см. скан)

Как было отмечено выше, для нечетных значений

Моменты сериального коэффициента корреляции для модели с последовательными разностями равны, таким образом,

Разложение в ряд производящей функции моментов в (123) было дано Нейманом (1941). Оно может быть использовано и для других сериальных коэффициентов корреляции. Например, в случае циклического сериального коэффициента корреляции первого порядка, использующего остатки от выборочного среднего, коэффициенты в показателе экспоненты производящей функции моментов будут такими:

Сумма внутри квадратных скобок равна здесь , если делится на без остатка (включая значение и 0 в противном случае. Поэтому

где знак указывает, что суммирование ведется по тем из значений для которых делится нацело на Эти значения получаются следующим образом. Предположим, что четное, Тогда сумма берется только по тем значениям для которых делится нацело на Если, далее, четное, скажем то следует брать при этом только те для которых делится нацело на Я. Но последние имеют вид Если же нечетное, то тогда надо суммировать по тем для которых делится нацело на Такие значения имеют вид Таким образом,

Пусть теперь нечетное, скажем Тогда суммирование ведется по тем значениям для которых делится без остатка на Если при этом четное, то таких значений не существует. Если же нечетное, то и отсюда необходимо должно быть нечетным, скажем Таким образом, в этом случае и

Если то подходящих значений не существует, а зцачит, не существует и подходящих значений

(см. скан)

С разложением Неймана связано использование для получения первых нескольких моментов не всей производящей функции, а лишь некоторой части ее аналитического выражения. Рассмотрим, например, случай сериального коэффициента корреляции использующего последовательные разности. Мы аппроксимируем суммой, в которой величины для четных заменим величинами формально вычисляемыми по формуле (133) для всех а не только для суммой

Первую сумму в правой части последнего соотношения с помощью формулы удвоения для гамма-функции можно представить в виде

Из соотношения

находим, что

Это приводит к тождеству

В справедливости последнего можно убедиться, дифференцируя обе части (151) и замечая, что они совпадают при Суммируя полученные результаты, получаем

Эта аппроксимация для по существу, сводится к опусканию члена в выражении (102).