10.3.3. Асимптотическое смещение выборочной спектральной плотности

Рассмотрим выборочную спектральную плотность, строящуюся по остаткам от подобранной по методу наименьших квадратов регрессии, т. е.

Теорема 10.3.5. Пусть выполнены условия 10.2.1-10.2.5 и, кроме того, предел

существует для всех К и Тогда

Доказательство. Преобразуем (34) следующим образом:

где вектор имеет вид

Положим Тогда

Математическое ожидание первого члена правой части (39) равно

и стремится при Математическое ожидание последнего члена равно

Предел матрицы, стоящей в квадратных скобках, указан в следствии 10.2.1. Другая матрица в (41) равна где

сходится к Таким образом, предел математического ожидания лоследнего члена правой части (39) равен

Математическое ожидание среднего члена равно

где . Оно сходится к

Этим завершаем доказательство.

Отметим, что

Интеграл квадрата абсолютной величины каждой компоненты вектора равен и стремится к 0 при Поэтому для почти всех Если ведет себя, грубо говоря, как реализация стационарного случайного процесса, то для всех При этом каждая компонента соответствует а каждый диагональный член матрицы соответствует . В этом случае оказывается асимптотически несмещенной оценкой.

Следствие 10.3.1. Если

Рассмотрим теперь такую последовательность независимых переменных что оценки наименьших квадратов оказываются при этом асимптотически эффективными для каждой непрерывной положительной спектральной плотности. Из теоремы 10.2.10 следует тогда, что

для каждой непрерывной положительной спектральной плотности Существует матрица (не обязательно единственная), такая, что и матрица Диагональна для каждого набора значений При этом матрицы будут диагональными, причем их диагональные элементы равны 1 или Пусть (См. упр. 32 гл. 6.) Тогда

где

а I есть единичная диагональная подматрица. Далее, естественно предположить, что

При этих условиях

Тогда

Итак, получена

Теорема 10.3.6. Если выполнены условия 10.2.1 —10.2.5, (35) существует для каждого кроме того, для

Выборочная спектральная плотность может оказаться асимптотически смещенной для тех значений X, при которых имеет скачки, т. е. для значений, соответствующих частотам периодичности последовательности Если множитель в (55) известен и отличен от нуля, то оценку значения спектральной плотности можно получить делением на этот множитель.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть

и . Тогда

Используя результат упр. 13, можно получить, что для Первой компонентой вектора является имеют компоненты, равные компоненты, равные Последняя компонента вектора равна 1. Овальные компоненты равны нулю, Тогда

Если в опустить или то

В качестве другого примера рассмотрим . В этом случае

При этом , Отсюда