Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упорядоченную во времени, хотя возможно упорядочение и по какому-то другому параметру. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором призводятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они, как правило, зависимы и характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности. Природа ряда и структура порождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования последовательности.

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т. п. Все они изменяются во времени. Существуют также различные характеристики, относящиеся к целой нации и зависящие уже от совокупности характеристик отдельных индивидуумов, например экономические условия и народонаселение, которые эволюционируют и флуктуируют во времени. С течением времени изменяются деловая активность, режим протекания того или иного производственного процесса, глубина сна человека, восприятие телевизионной программы. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного родг в течение некоторого периода времени и представляет собой временной ряд. Это может быть, например, почасовая запись температуры в том или ином месте или ежегодное количество осадков, фиксируемое метеорологической станцией. Это могут быть также поквартальные данные о валовом национальном продукте.

К нескольким временным рядам приводит запись электрокардиограммы.

Цели изучения временных рядов могут быть различными. Можно, например, стремиться предсказать будущее на основании знания прошлого, управлять процессом, порождающим ряд, выяснить механизм, порождающий ряд, или просто сжато описать характерные особенности ряда. Как статистики мы будем интересоваться задачами статистических выводов. Именно, на основании ограниченного количества информации, временного ряда конечной длины, мы хотим делать выводы о вероятностном механизме, порождающем этот ряд, анализировать структуру, лежащую в его основе.

В принципе измерение многих величин, таких, как температура и напряжение, может производиться непрерывно. При этом наблюдения можно фиксировать в виде графика. Однако на практике измерения часто производятся все же в дискретные моменты времени. В других случаях, как, например, при подсчете урожайности зерновых культур, измерения вообще могут производиться только в определенные интервалы времени. Как бы то ни было, даже в том случае, когда изучаемые величины регистрируются непрерывно, при обработке их на цифровых вычислительных машинах реально используются только те значения, которые соответствуют дискретному множеству моментов времени. В настоящей книге мы ограничимся только временными рядами, представляющими собой дискретную последовательность наблюдений, производимых через регулярные промежутки времени, такими, как, например, почасовая запись атмосферного давления. Хотя часто имеет значение влияние одной характеристики на другую и взаимодействие во времени сразу нескольких величин, тем не менее во многих исследованиях существенных результатов можно достигнуть и при изучении только одного, отдельно взятого временного ряда. Настоящая книга почти целиком (за исключением того, что касается систем авторегрессии) посвящена статистическим методам анализа одномерных временных рядов. Иными словами, предполагается, что (один и тот же) объект или индивидуум подвергается повторным измерениям только одного типа. Мы будем предполагать, кроме того, что результатом измерения является действительное число, например температура, и что множество исходов не обязательно конечное (или счетное). О результате таких измерений часто говорят как о непрерывной переменной. Мы будем проводить математическое исследование результатов измерений подобного рода, обращаясь с ними так, как если бы сами измерения были непрерывными во времени. Например, ежегодный национальный доход можно измерить, в лучшем случае, с точностью до пенни. Однако его размеры могут быть столь велики, что не произойдет сколько-нибудь серьезной ошибки, если мы будем рассматривать эту величину как непрерывную переменную. Более того, мы будем рассматривать такие временные ряды, которые

ведут себя достаточно устойчивым образом, т. е. имеют тенденцию оставаться в определенных границах или по крайней мере меняются медленно, без резких, взрывных изменений. Так, мы рассматривали бы многие метеорологические переменные, но при этом исключили бы ударные волны.

Пусть наблюдаемым временным рядом является Мы будем понимать эту запись следующим образом. Имеется чисел, представляющих собой наблюдение некоторой переменной в равностоящих моментов времени. Эти моменты для удобства перенумерованы целыми числами Достаточно общей математической (статистической, или вероятностной) моделью служит модель вида

В этой модели наблюдаемый ряд рассматривается как сумма некоторой полностью детерминированной последовательности которую можно назвать систематической составляющей, и случайной последовательности подчиняющейся некоторому вероятностному закону. (Иногда для этих двух составляющих используются соответственно термины сигнал и шум). Эти компоненты наблюдаемого ряда ненаблюдаемы; они являются теоретическими величинами. Например, если производится измерение количества ежедневно выпадаемых осадков, то может представлять собой климатическую норму, получающуюся долговременным усреднением за большой период, те капризы и нерегулярности в погоде, которые характеризуют отклонения от климатической нормы. Точный смысл указанного разложения зависит не только от самих данных, но частично и от того, что понимается под повторением эксперимента, результатом которого являются эти данные. Мы используем здесь так называемую «частотную» интерпретацию. Мы полагаем, что по крайней мере принципиально можно повторять всю ситуацию целиком, получая новые совокупности наблюдений. При таком повторении эксперимента функция должна была бы оставаться одной и той же, а случайные составляющие оказывались бы различными как различные реализации случайного процесса. Случайные составляющие, кроме всего прочего, могут включать в себя и ошибки наблюдений. (При этом

Мы все имеем определенные интуитивные представления о том, что следовало бы понимать под временным параметром в подобных моделях или процессах. Одно из таких представлений состоит в том, что время течет в одном направлении. Другое — что события, близкие по времени, должны быть сравнительно сильно связаны, а события, разделенные большими промежутками времени, не должны

иметь сильной связи. Можно рассматривать различные варианты математической модели (1), в которых влияние времени может сказываться либо только на функции или последовательности либо только на вероятностном процессе, определяющем случайную составляющую либо, наконец, на обеих этих компонентах. Первая часть книги посвящена анализу временных рядов, соответствующих так называемым моделям ошибок, в которых наблюдения рассматриваются как результат независимых случайных отклонений от некоторой функции, представляющей тренд. Во второй части книги мы будем иметь дело уже с последовательностями зависимых случайных величин, обычно со стационарными случайными процессами, выделяя при этом процессы авторегрессии. В конце книги будут рассмотрены модели, в которых на тренд накладывается случайная составляющая, образующая стационарный случайный процесс. Необходимые сведения о стационарных случайных процессах приводятся в гл. 7.

Во многих случаях модель можно определить с точностью до конечного числа параметров. Задачи статистических выводов будут связаны тогда именно с этими параметрами. В других ситуациях модель оказывается более неопределенной и приходится использовать непараметрические методы. Разумеется, модель должна достаточно хорошо представлять механизм образования соответствующего ряда. Однако, будучи математической абстракцией, она является лишь только приближением к реальному явлению. Сколь же точно можно определить модель, зависит от уровня знаний об исследуемом процессе и соответственно от той информации, которую мы можем получить с использованием статистического анализа, зависящего от характера этих знаний. В данной книге будет описано много методов и их свойств. Делается это для того, чтобы иметь возможность выбрать приемлемый метод, приводящий к полезным результатам. При этом внимание уделяется как самому статистическому выводу, так и его математическому обоснованию.

Первоначально анализ временных рядов базировался на моделях, в которых влияние временного параметра проявлялось только в систематической составляющей. Эту ситуацию можно было бы назвать классической, поскольку в известной степени она восходит к тем временам, когда Гаусс и другие развивали теорию и метод наименьших квадратов с целью применения их в астрономии и физике. В таких моделях мы предполагаем, что течение времени никак не отражается на случайной составляющей. Точнее говоря, мы предполагаем, что математическое ожидание (т. е. среднее значение) случайной составляющей тождественно равно нулю, дисперсия равна некоторой постоянной и что значения в различные моменты времени некоррелированы. Такое определение приводит к тому, что всякую зависимость от времени приходится включать в систематическую составляющую Последовательность может

Рис. 1.1. Ряд с тригонометрическим трендом.

зависеть от некоторых неизвестных коэффициентов и от известных величин, меняющихся со временем. В этом случае ее называют «функцией регрессии». Методы статистических выводов для коэффициентов функции регрессии оказываются полезными во многих областях статистики. Своеобразие же методов, относящихся именно к временным рядам, состоит в том, что здесь исследуются те модели, в которых упомянутые выше величины, меняющиеся со временем, являются известными функциями

В рамках сделанных ограничений можно выделить два типа временных последовательностей часто называемых трендом. Один тип представляют медленно меняющиеся функции времени, примером которых могут служить полиномы достаточно низкой степени. К другому типу принадлежат циклические последовательности, например, конечные отрезки ряда Фурье, представляющие собой конечные суммы пар синусоидальных и косинусоидальных составляющих. Такой парой может являться Ее можно записать и с использованием одной только функции косинус, именно Период этой функции времени равен т. е. она повторяет свои значения всякий раз по прошествии времени Соответствующая частота, т. е. величина, обратная периоду, равна Коэффициент является амплитудой, фазой указанной функции. Считается, что наблюдаемый ряд представляет собой сумму подобного отрезка ряда Фурье и случайной составляющей. На рис. 1.1 представлены значения функции где составляющая нормально распределена с нулевым средним и единичной дисперсией. Функция представлена здесь в виде

функции от непрерывного аргумента Последовательные значения разбросаны случайным образом по обе стороны от кривой Если даже эта кривая известна и если известен закон распределения ошибки, то информация о значениях не оказывает в данной модели никакой помощи в предсказании значения Поведение графика функции для не зависит от значений .

Подобная модель может оказаться приемлемой в ряде физических и экономических задач. В астрономии, например, может описывать пространственное положение (по одной из координат) планеты в моменты времени Так как телескоп — прибор не идеальный, а состояние атмосферы постоянно изменяется, определение соответствующей координаты планеты производится с некоторой, хотя и достаточно малой, ошибкой. Эта ошибка наблюдения никак не влияет ни на последующие положения планеты, ни на реальные наблюдения этих положений. В случае свободно колеблющегося маятника его смещение (измеренное от нижнего положения) является тригонометрической функцией .

Одной из общих моделей, в которой влияние временного параметра проявляется в случайной составляющей, является стационарный случайный процесс. Проиллюстрируем это примером процесса авторегрессии. Предположим, что имеет некоторое распределение с нулевым средним. Пусть имеют совместное распределение, совпадающее с совместным распределением случайных величин где не зависит от и имеет нулевое математическое ожидание. Совместное распределение для будем полагать в свою очередь таким же, как совместное распределение причем предполагается, что случайная величина не зависит от и имеет нулевое математическое ожидание. Если маргинальные распределения совпадают, а распределение выбрано надлежащим образом, то последовательность образует стационарный случайный процесс, именно процесс авторегрессии, и

является стохастическим разностным уравнением первого порядка. Такое построение для иллюстрирует рис. 1.2. В этой модели «возмущение» оказывает влияние и на и на все последующие Из указанного построения вытекает, что условное математическое ожидание при заданных значениях удовлетворяет равенству

(В действительности для процесса первого порядка значения условно независимы при заданном значении ) Если

Рис. 1.2. Построение ряда в модели авторегрессии.

мы хотим предсказать значение по значениям и параметру то наилучшим прогнозом (в смысле минимума среднеквадратичной ошибки) будет Таким образом, в этой модели знание предшествующих наблюдений оказывает помощь в предсказывании

Процесс авторегрессии второго порядка получается, если взять совместное распределение таким же, как совместное распределение где не зависит - от а распределения выбираются надлежащим образом. Графики подобных рядов представлены в приложении Графики других рядов, порожденных случайным моделированием, имеются у Кендалла и Стьюарта (1966, гл. 45) и у Вольда (1965, гл. 1). Переменная может представлять собой смещение колеблющегося маятника, который подвержен некоторым случайным ударным воздействиям Тогда ряд близок к тригонометрической функции с переменной амплитудой, переменной частотой и переменной фазой. Процесс авторегрессии четвертого порядка, порожденный моделью будет походить уже на сумму двух тригонометрических функций с изменяющимися амплитудами, частотами и фазами.

Стационарный случайный процесс общего вида можно аппроксимировать процессом авторегрессии достаточно высокого порядка или процессом

где независимые случайные величины с . Последний является суммой

тригонометрических функций со случайными амплитудами и фазами. Вклад тригонометрической функции с частотой в среднем пропорционален математическому ожиданию квадрата ее амплитуды, Исходя из этого, стационарный случайный процесс (определенного класса) можно характеризовать спектральной плотностью такой функцией, для которой аппроксимируется суммой по всем Характерное свойство стационарных случайных процессов состоит в том, что ковариация зависит только от разности так что ее можно обозначить через о Ковариационная последовательность и спектральная плотность (если она существует) суть две альтернативные формы описания структуры моментов второго порядка стационарного случайного процесса. Ковариационная последовательность более удобна и информативна, когда большее значение имеет временной характер последовательности, как это, например, бывает во многих экономических рядах. Спектральная же плотность может оказаться более подходящей для других типов анализа. В частности, она весьма важна в физических науках, поскольку существо многих физических явлений может быть описано с помощью гармоник или тригонометрических функций времени. Так, поскольку изменение давления воздуха при наличии чистого тона выражается косинус-функцией, то для целей анализа звука естественно использовать анализ Фурье. В частности, подобным образом определяет высоту тона человеческое ухо.

Влияние времени может быть представлено в обеих составляющих модели так, что систематическая составляющая является трендом во времени, а случайная составляющая образует стационарный случайный процесс. К примеру экономический временной ряд может складываться из долговременного и сезонного изменений, которые вместе составляют и из колебательной компоненты и других нерегулярностей, которые вместе образуют и могут быть описаны процессом авторегрессии.

В тех случаях, когда тренд имеет вполне определенную структуру и определяется конечным числом параметров, мы рассматриваем задачи статистических выводов о значениях этих параметров. Например, можно оценивать коэффициенты при степенях в полиномиальных и коэффициенты при синусах и косинусах в тригонометрических трендах. В первом случае может возникнуть вопрос о том, какую наивысшую степень следует включить в рассмотрение, а во втором случае — вопрос о том, какие из нескольких слагаемых должны быть включены. Если же тренд не описывается столь точно, то для его оценивания можно использовать непараметрические методы, такие, как сглаживание.

Если случайный процесс описывается с помощью конечного

числа параметров, скажем, как процесс авторегресеин, то здесь также возникают задачи оценки коэффициентов, проверки гипотез относительно их значений или решения вопроса о том, какого порядка процесс следует использовать. Особый интерес представляет здесь задача проверки нулевой гипотезы о независимости случайных составляющих. Для этой цели может быть использован тот или иной сериальный коэффициент корреляции. Если процесс стационарный, но не описывается конечным числом параметров, то в этом случае можно оценивать ковариации или спектральную плотность. Соответствующие процедуры являются в основном непараметрическими.

Методы, представленные в настоящей книге, предназначены главным образом для полученйя выводов относительно структуры механизма, порождающего процесс. Указаны также методы предсказания последующих значений процесса для случая, когда структура известна. Если же структура случайного механизма оказывается неизвестной, ее можно оценить по имеющимся данным и затем уже для целей предсказания использовать найденные оценки.

ЛИТЕРАТУРА

Вольд (1965), Кендалл и Стьюарт (1966).