6.11. ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

6.11.1. Стационарные процессы первого порядка

Стационарный гауссовский процесс первого порядка удовлетворяет уравнению

в котором независимые случайные величины, каждая из которых распределена по закону причем и маргинальное распределение есть Совместное распределение величин является нормальным ; его ковариационная матрица 2 состоит из элементов Соответствующая плотность представляет частный случай (5) из § 6.2 и рассматривалась в разд. 6.3.3.

Найдем в этой модели оценку максимального правдоподобия для параметра (Эту задачу исследовал Купменс (1942).) Положим

Тогда логарифм функции правдоподобия можно записать в виде

Его производные по имеют вид

Приравнивая их нулю, получаем

и

т. е.

Левая часть последнего выражения положительна при отрицательна при и равна при Отсюда следует, что последнее уравнение имеет один нулевой корень при один корень между —1 и 0 при и один корень между 0 и 1 при 0. Кроме того, оно имеет один корень левее —1 и один — правее 1. При это уравнение сходится (по вероятности) к уравнению

Последнее имеет корни и Более точным приближением к соответствующему решению уравнения (10) является (См. упр. 78.)

Из изложенного вытекает, что в качестве оценки для параметра можно использовать величины или Следует отметить, что кубическое уравнение (11) не имеет простого решения, например в виде отношения полиномов от

Но численными методами его решение можно получить сколь угодно точно.

6.11.2. Циклическая модель

Пусть

где а случайные величины независимы и каждая из них распределена по закону Плотность совместного

распределения величин равна тогда

поскольку при переходе от переменных к переменным по формуле (12) соответствующий якобиан преобразования равен Матрица квадратичной формы в (13) представляет собой умноженную на матрицу из разд. Производные логарифма функции правдоподобия равны здесь

Приравнивая их нулю, получаем следующие уравнения для оценок максимального правдоподобия:

Если обозначить через циклический сериальный коэффициент корреляции

то эти уравнения можно переписать в виде

Если то уравнение (20) имеет два действительных корня если четное, и три действительных корня если нечетное. Если то при четном действительные корни равны нулю, а при нечетном нулю и единице. Наконец, если то при четном действительные корни равны а при нечетном и при они равны и 1, но лишь 1 при

Поскольку взаимно обратные величины (при соответствующим образом скорректированных определяют один и тот же процесс, можно ограничиться отысканием корня, лежащего между —1 и 1. (Корень, равный 1, не дает абсолютного максимума Можно показать, что асимптотически корнем второго уравнения является (ввиду того что по вероятности). (См. упр. 85.) Можно также показать, что критерий отношения правдоподобия для проверки гипотезы основывается на статистике

Указанная гипотеза отвергается, если (21) меньше надлежащим образом выбранной постоянной.

Отметим, что каждый корень уравнения (20) как функция от не является рациональной функцией. Метод, основанный на максимуме правдоподобия (использующий можно аппроксимировать приближением, описанным в предыдущих параграфах (использующим ). (Эти задачи исследованы Диксоном (1944).)

Уравнение (12) можно переписать в виде ( эквивалентном представлению

Поскольку то

или

Поэтому ковариационная матрица для у имеет вид

где для Здесь использован тот факт, что Замечая еще, что получаем

Ковариация между равна

Соответствующая корреляция складывается из двух членов, один из которых зависит от интервала времени между а другой — от интервала времени между Матрица (26) является обратной для