6.3.2. Равномерно наиболее мощные несмещенные критерии

При проверке гипотезы о том, что порядок зависимости меньше (т. е. нас может интересовать альтернатива, состоящая в том, что порядок зависимости равен Эта альтернатива двусторонняя, а для двусторонних альтернатив не существует равномерно наиболее мощного критерия. Например, наилучший подобный критерий для проверки гипотезы против альтернативы с уровнем значимости имеет критическую область . В то же время наилучший подобный критерий для проверки той же гипотезы, но при альтернативе будет иметь критическую область

где определяется так, чтобы вероятность события (15), подсчитываемая согласно плотности (8), была равна при . При рассмотрении двусторонних альтернатив потребуем, чтобы критерий был несмещенным, т. е. чтобы его функция мощности достигала минимума при . В классе несмещенных критериев с данным уровнем значимости найдем равномерно наиболее мощный критерий. Такой критерий действительно будет существовать, поскольку семейство плотностей экспоненциально, и область принятия гипотезы будет интервалом. Опишем вывод равномерно наиболее мощного несмещенного критерия только в общих чертах. Полное и строгое доказательство приведено у Лемана (1959, гл. 4, разд. 4).

Для заданных пусть будет критической областью с уровнем значимости , т. е.

Пусть соответствующей функцией мощности будет При этом

Для того чтобы критерий был локально несмещенным, надо приравнять нулю первую производную функции мощности в точке Дифференцируя под знаком интеграла, получаем

(см. скан)

Дифференцируя подобным же образом

в точке и сравнивая результат с (18), получаем соотношение

Таким образом, (20) является условием локальной несмещенности критерия.

Мы хотим теперь найти такую критическую область чтобы она удовлетворяла соотношениям (16) и (20) и, кроме того, максимизировала функцию для некоторого частного значения например для . В силу обобщенной фундаментальной леммы Неймана — Пирсона (упр. 12) такая область определяется неравенством

если существуют функции от такие, что указанная область удовлетворяет (16) и (20). Неравенство (21) равносильно неравенству где

и

Поэтому

Если то последняя производная отрицательна и неравенство (21) определяет некоторый полуинтервал Однако такая критическая область не удовлетворяет соотношениям (16) и (20). (См. упр. 13.) Поэтому величину В следует брать отрицательной. Указанная производная будет непрерывно возрастающей функцией, принимающей нулевое значение только в одной точке. Эта точка будет точкой минимума функции Если этот минимум отрицателен (что имеет место, когда А достаточно велико), то (21) определяет два полуинтервала и Область принятия в таком случае равна Отметим, что значения с и определяются соотношениями (16) и (20), которые не зависят от Подобным же образом при можно доказать, что константа В должна быть положительной и что область принятия будет интервалом, удовлетворяющим (16) и (20) независимо от значения Таким образом, мы получили равномерно наиболее мощный несмещенный критерий.

Теорема 6.3.5. Равномерно наиболее мощный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернативы

с уровнем значимости имеет критическую область

где определяются так, чтобы

и

Следствие 6.3.2. Равномерно наиболее мощный критерий для проверки гипотезы против альтернатив с уровнем значимости имеет критическую область

где определяются соотношениями

и

Если условная плотность распределения величины при заданных для симметрична, то (30) автоматически

будет выполняться для

поскольку тогда обе части (30) будут равны нулю. При этом (29) можно записать в виде

Равномерно наиболее мощный односторонний подобный критерий можно называть также равномерно наиболее мощным односторонним несмещенным критерием, поскольку из несмещенности критерия вытекает подобие критической области.

Следует отметить, что условное распределение величины при заданных не зависит от значений параметров Ввиду этого последним можно приписать любые значения, которые окажутся более удобными. Например, можно взять

Обычно будет равно Отношение

можно рассматривать как сериальный коэффициент корреляции. Если то совместное распределение не зависит от (См. теорему 6.7.2.) Оптимальные критерии (13) и (28) могут быть определены с использованием условного распределения при заданных

Частную сериальную корреляцию порядка при неизменных сериальных корреляциях порядков можно определить обычным способом. Мы уже говорили о том, что этот частный сериальный коэффициент корреляции может быть использован для проверки гипотезы Поскольку он является линейной функцией аргумента (с коэффициентами, зависящими от то использование его при заданных значениях эквивалентно использованию самого при тех же (См. разд. 6.9.2.)