Главная > Статистический анализ временных рядов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.4.4. Выборочная спектральная плотность

Так как

то мы можем получить предельное распределение выборочной спектральной плотности из предельного распределения тригонометрических коэффициентов и

Теорема 8.4.4. Если где состоит из независимо распределенных случайных величин, причем имеет среднее значение 0, дисперсию и функцию распределения и если (23) выполняется при с то имеет предельное распределение, в котором эти переменных величин независимы и каждая имеет -распределение сдвуш степенями свободы.

Теорема следует из общего результата о том, что если случайный вектор есть векторная функция случайного векторам непрерывна и предельное распределение вектора является распределением вектора то предельное распределение является распределением для [См., например, Манн и Вальд. (1943а).]

Теорема 8.4.4 также выполняется, если заменить на

Для больших выборок мы можем сказать, что распределено приближенно как где имеет -распределение с 2 степенями свободы. Это показывает, конечно, что не является состоятельной оценкой функции Однако тот факт, что для различных значений X асимптотически независимы, означает, что усреднение по значениям X в некотором интервале даст оценку соответствующего среднего величины с малой дисперсией. Если мало изменяется в этом интервале значений X, то оценка будет приемлемой. Эта идея будет более подробно развита в следующей главе.

Несколько иной подход был использован Бартлеттом (1966,. разд. 9.2.2).

Теорема 8.4.5. Если где то абсолютная величина разности между и где

имеет математическое ожидание, которое меньше некоторой постоянной, умноженной на Если независимы и то среднеквадратичное отклонение этой разности меньше постоянной, умноженной на

Доказательство. Пусть

где каждая из последних пар сумм есть 0, если верхний индекс меньше нижнего (т. е. если если ).

Тогда

Отсюда математическое ожидание абсолютной величины квадрата выражения (36) равно

так как

Точно также математическое ожидание четвертой степени абсолютной величины выражения (36) равно (когда независимы и )

Правую часть в (36) обозначим Тогда

и

Математическое ожидание величины было оценено в формуле (37). Математическое ожидание абсолютной величины второго члена правой части выражения (42) меньше квадратного корня математического ожидания величины , которое меньше умноженного на квадратный корень что в свою очередь меньше правой части (37), умноженной на Это доказывает первую часть теоремы. Из (42) получаем

Вторая часть теоремы следует из предыдущего, упр. 33, формулы 440) и условия, что ограничены.

А. М. Уолкер (1965) показал, что предел по вероятности разности между и есть 0, где Олшен (1967) получил в этом направлении более глубокие результаты.

1
Оглавление
email@scask.ru