8.4.4. Выборочная спектральная плотность
Так как
то мы можем получить предельное распределение выборочной спектральной плотности
из предельного распределения тригонометрических коэффициентов
и
Теорема 8.4.4. Если
где состоит из независимо распределенных случайных величин, причем
имеет среднее значение 0, дисперсию
и функцию распределения
и если (23) выполняется при с
то
имеет предельное распределение, в котором эти
переменных величин независимы и каждая имеет
-распределение сдвуш степенями свободы.
Теорема следует из общего результата о том, что если случайный вектор
есть векторная функция
случайного векторам
непрерывна и предельное распределение вектора
является распределением вектора
то предельное распределение
является распределением для
[См., например, Манн и Вальд. (1943а).]
Теорема 8.4.4 также выполняется, если
заменить на
Для больших выборок мы можем сказать, что
распределено приближенно как
где имеет
-распределение с 2 степенями свободы. Это показывает, конечно, что
не является состоятельной оценкой функции
Однако тот факт, что
для различных значений X асимптотически независимы, означает, что усреднение
по значениям X в некотором интервале даст оценку соответствующего среднего величины
с малой дисперсией. Если
мало изменяется в этом интервале значений X, то оценка будет приемлемой. Эта идея будет более подробно развита в следующей главе.
Несколько иной подход был использован Бартлеттом (1966,. разд. 9.2.2).
Отсюда математическое ожидание абсолютной величины квадрата выражения (36) равно
так как
Точно также математическое ожидание четвертой степени абсолютной величины выражения (36) равно (когда
независимы и
)