2.6. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Приведенные процедуры проверки гипотез и построения доверительных областей были основаны на предположении о том, что наблюдения распределены нормально. Если предположение о нормальности не выполняется, то эти процедуры все же можно применять для больших выборок, используя асимптотическую теорию.

Теорема 2.6.1. Пусть где все независимы, имеют нулевые средние, дисперсии и функции распределения Положим

и

Предположим далее, что при

невырождена

при Тогда имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

Доказательство. Прежде всего имеем

Мы докажем, что имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей если удастся показать, что для любого вектора величина имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией (См. теорему 7.7.7.) Пусть тогда

Положим Тогда и

где функция распределения случайной величины Сходимость к нулю правой части (6) вытекает из (3) в силу неравенства.

правая часть которого сходится к нулю в силу и приводимой ниже леммы 2.6.1. Выполнение условия (6) Линдеберга — Феллера влечет за собой нормальность предельного распределения [См. Лоэв (1963, § 21.2) или теорему 7.7.2.] Таким образом, имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей и

Лемма 2.6.1. Если то

при Обратно, из условия (8) вытекают условия

Доказательство. Пусть наибольшее значение для которого При этом неубывающая последовательность целых чисел. Если она ограничена, то пусть ее максимум равен Тогда

в силу Если же при

в силу Доказательство обратного утверждения предоставляется читателю.

Следствие 2.6.1. Пусть где все независимы и одинаково распределены с нулевыми средними и дисперсиями . Если выполнены условия теоремы 2.6.1, то имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

Следствие 2.6.2. Пусть где все независимы, имеют нулевые средние и дисперсии и пусть выполнены условия теоремы Воли существуют такие что то имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей

Теорема 2.6.1 в несколько отличной форме была получена Эйкером (1963). Оба следствия используют более ограничительные достаточные условия. Если в следствии 2.6.2 условие заменить условием равномерной ограниченности то соответствующий результат может быть достигнут прямым применением центральной предельной теоремы Ляпунова. (См. упр. 20.) Однако условие ограниченности слишком обременительно для наших целей, поскольку полиномы от ему не удовлетворяют.

Теорема 2.6.2. В условиях теоремы 2.6.1, следствия следствия 2.6.2 статистика сходится по вероятности к .

Доказательство Поскольку

то

Второй член в (12) неотрицателен. Его математическое ожидание равно

и стремится к нулю при Отсюда в силу неравенства Чебышева следует, что второй член в (12) сходится по вероятности к нулю. Утверждение теоремы вытекает теперь из закона больших чисел:

где . (Здесь означает сходимость по вероятности. — Ред.) Этот закон можно применить, поскольку в условиях леммы 2.6.1 одинаково распределены, в условиях леммы [см. Лоэв (1963, § 20.1)], а в условиях теоремы 2.6.1

при где функция распределения случайной величины, . [См. Лоэв (1963, § 20.2) и упр. 21.]

Значение приведенных теорем состоит в том, что, опираясь на них, обычную теорию для нормального случая при больших объемах выборок можно использовать с достаточной точностью и в тех ситуациях, когда наблюдения не являются нормально распределенными. Мы увидим в § 5.5, что в случае процесса авторегрессии, в котором заменяется линейной комбинацией наблюдений при запаздывающих значениях переменной возможно дальнейшее. развитие асимптотической теории, оправдывающей применение соответствующих процедур для больших выборок, когда предположение о нормальности не выполняется. В § 5.5 асимптотическая теория будет обобщена и представлена более подробно.

В разд. 10.2.4 подобные теоремы будут доказаны для последовательностей образующих стационарный случайный процесс типа скользящего среднего.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)