6.10. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЗАВИСИМЫХ НАБЛЮДЕНИЙ

Если наблюдения являются зависимыми, то распределения сериальных коэффициентов корреляции в рассмотренных нами моделях легко вывести из соответствующих распределений для случая независимых наблюдений (приведенных, например, в разд. 6.7.5 и 6.7.6). [См. Лейпник (1947) и Мэдоу (1945).]

Рассмотрим плотность распределения величин в виде

где характеристический вектор матрицы А соответствующий характеристическому корню

числа таковы, что матрица положительно определена, и

Плотность совместного распределения квадратичных форм имеет вид

на множестве допустимых значений и равна нулю вне этого множества; здесь

(соответствующим образом нормировано и ). Плотность совместного распределения величин

равна

на множестве допустимых значений и нулю вне этого множества. Здесь Плотность совместного распределения величин есть

где интегрирование производится по всем значениям совместимым с (Мы покажем далее, что область интегрирования есть интервал и что? не зависит от При соотношение (7) равносильно соотношению

тождественному Поскольку в этом случае не зависят от то область интегрирования по не должна зависеть от а это и означает, что она представляет собой интервал Частные случаи плотности уже обсуждались в § 6.7 и 6.9. Используя тождественность соотношения (8) по интеграл в (7) можно найти, заменив в (8) на Так как здесь таковы, что матрица положительно определена, имеем . В итоге получим

Моменты могут быть найдены из соотношения (9) путем разложения для Достаточно малых значений в ряд по степеням и последующего интегрирования по переменным

Другой подход к получению распределений сериальных коэффициентов корреляции связан с использованием канонической формы. Пусть

где независимые нормально распределенные случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями соответственно. Тогда

распределено по закону Запишем

где в случае Здесь можно воспользоваться распределениями § 6.7 с заменой на Например,

если можно переписать (52) в виде