Покажем, как эту последовательность можно представить с помощью 
тригонометрических функций. Положим
Тогда
где у в правом столбце повторяется 
раз и 
(Допускается, что может быть 
членов, составляющих лишь часть цикла.) Определим теперь матрицу 
размера 
таким же образом, как и в разд. 4.2.2, так что
т. е.
Тогда для 
(четного) имеем
Отметим, что для 
в силу того, что 
Подобным же образом можно показать, что (28) выполняется вообще для всех 
Если 
нечетное, то слагаемое, содержащее 
опускается.
Мы показали, как произвольную периодическую функцию с целым периодом можно представить в виде линейной комбинации 
тригонометрических функций. Следует отметить, что этот результат применим к любой периодической последовательности. Однако если данная периодическая последовательность является последовательностью значений функции, состоящей из синусоидальной и косинусоидальной компонент, и имеет период 
(т. е. 
является кратным минимальному периоду), то можно обойтись только одной или двумя тригонометрическими последовательностями (косинусов и синусов).
Тригонометрические функции с периодом 
вовсе не обязаны быть ортогональными на множестве 
если только 
не является кратным 
т. е. 
. В последнем случае
Тригонометрические функции, входящие в (28), составляют лишь часть тригонометрических функций, входящих в (20) или (22). Поэтому некоторые (или многие) коэффициенты соответствующего представления Фурье равны нулю. Однако полное представление является все же удобным по той причине, что некоторые периодические последовательности являются его простыми частными случаями.
В § 3.3 мы рассмотрели модель, в которой тренд содержал периодическую компоненту 
Последняя интерпретировалась как сезонное изменение ряда. Для полугодовых данных период равен 2, для ежеквартальных 4, а для ежемесячных 12. Такое сезонное изменение 
можно выразить в виде линейной комбинации 
тригонометрических членов.
Периодическая последовательность 
с периодом 
может быть записана также в виде матрицы
строки которой совпадают.
имеет период 
где 
целое число, т. е. что
