6.5.4. Другая модель

Представляет определенный интерес брать в качестве квадратичную форму поскольку она и есть желательная сумма запаздывающих произведений. Соответствующая матрица

Взяв эту матрицу в качестве исходной и воспользовавшись уравнениями (18) (вытекающими из (16) и (17)), получим новую систему матриц. Так,

(см. скан)

Следует отметить, что здесь матрицы отличаются от нужного нам вида, соответствующего квадратичной форме только элементами, равными 1/2, в левом верхнем углу матрицы и такими же элементами в ее правом нижнем углу.

Характеристический вектор х с компонентами соответствующий характеристическому корню Я, удовлетворяет разностному уравнению второго порядка (47) и поэтому имеет вид (50): причем Уравнение принимает при этом вид

откуда следует, что Мы можем взять, таким образом, Тогда Получаемое аналогично предыдущему соотношение дает

откуда в свою очередь следует, что т. е. Корни этого уравнения являются корнями степени из 1, именно (Значения не являются допустимыми, поскольку при этом Поэтому характеристический корень равен

а в качестве компоненты соответствующего ему характеристического вектора можно взять

Теорема 6.5.5. Характеристические корни матрицы указанной в (62), равны а соответствующие им характеристические векторы есть

Следствие 6.5.3. Характеристические корни матрицы получаемой из матрицы указанной в (62), по формулам (16) и (17), равны Соответствующие им характеристические векторы имеют вид (69).

Следствие 6.5.4. Матрица А у из следствия 6.5.3 приводится к диагональному виду с помощью матрицы

Применение преобразования с этой ортогональной матрицей приводит квадратичную форму к виду

Следует отметить, что здесь корни для соответствуют корням из предыдущего случая для за исключением того, что опускается корень 1 (соответствующий характеристическому вектору с равными компонентами). Однако характеристические векторы будут уже другими. Ортогональная матрица (70) симметрична.