Глава 6. СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

6.1. ВВЕДЕНИЕ

Одна из первоочередных задач в анализе временных рядов состоит в том, чтобы решить, не является ли наблюдаемый ряд реализацией последовательности независимых случайных величин. В качестве простой альтернативы здесь можно использовать процесс, у которого последовательные наблюдения коррелированы. Примером такой альтернативы будет процесс, порождаемый стохастическим разностным уравнением первого порядка. В подобных случаях для проверки гипотезы о независимости может оказаться уместным использование различного вида сериальных корреляций первого порядка.

Пусть наблюдаемый ряд является реализацией процесса, имеющего нулевое математическое ожидание. Одно из возможных определений сериальной корреляции первого порядка таково:

В этой главе рассматриваются различные определения сериальной корреляции. Если известно, что средние значения равны нулю, то эти определения являются модификациями (1). Если же средние значения неизвестны, то в (1) заменяется отклонением от выборочного среднего (или от оценки тренда). Многие модификации связаны с изменением крайних членов, т. е. членов, содержащих Другие включают в себя введение дополнительного сомножителя, например

Сериальная корреляция служит мерой взаимной зависимости между элементами последовательности наблюдений, подобно тому как мерой зависимости между двумя множествами наблюдений служит обычный коэффициент корреляции (средние предполагаются равными нулю)

В случае сериальной корреляции в числителе последнего выражения переменная заменяется на . Поскольку служат в случае стационарного процесса (с нулевым средним) оценками для то эти статистики можно заменить на (возможно, домножив еще на ). Таким образом, определение (1) аналогично определению (2). Сериальную корреляцию называют иногда автокорреляцией.

Сериальные корреляции более высокого порядка определяются аналогичным образом. Так, одним из определений сериальной корреляции порядка является

Эта величина измеряет взаимную зависимость наблюдений, сдвинутых на единиц времени. Она может использоваться для проверки нулевой гипотезы о независимости против альтернативы, утверждающей существование зависимости между наблюдениями, отстоящими друг от друга на единиц времени.

В большинстве ситуаций, однако, полагают, что наличие зависимости наблюдений, отстоящих друг от друга на единиц времени, автоматически приводит к зависимости наблюдений, отстоящих

друг от друга также на единиц времени. В связи с этим сериальную корреляцию порядка обычно используют для проверки нулевой гипотезы, утверждающей существование зависимости порядка, против альтернативы, утверждающей, что порядок зависимости равен Например, можно говорить, что процесс, порождаемый стохастическим разностным уравнением порядка, соответствует зависимости порядка и При этом сериальный коэффициент корреляции порядка следовало бы использовать вместе с сериальными коэффициентами корреляции меньшего порядка.

Более общей является задача определения порядка зависимости для случая, когда предполагается, что этот порядок не меньше не бсыпе Такую процедуру со многими решениями можно построить, используя сериальные коэффициенты корреляции вплоть до порядка

Вопросы проверки независимости, проверки порядка зависимости и установления наличия зависимости были по существу уже рассмотрены в гл. 5 при исследовании модели стохастического разностного уравнения (фактически стационарного гауссовского процесса конечного порядка). Свойства соответствующих процедур, распределения оценок и критерии, используемые для этих целей, были изложены в рамках теории больших выборок. В настоящей главе будут получены оптимальные процедуры и точные распределения для моделей, являющихся некоторыми модификациями модели стохастического разностного уравнения. (Например, оценка в модели стохастического разностного уравнения первого порядка имеет вид сериального коэффициента первого порядка.)

Общие типы моделей мы получим исходя из модели стохастического разностного уравнения (§ 6.2). Для этих экспоненциальных моделей предлагаются оптимальные (односторонние или несмещенные) критерии для проверки зависимости. Разрабатываются процедуры со многими решениями, использующие такие критерии (§ 6.4). Соответствующие построения аналогичны тем, которые использовались для определения степени полиномиального тренда (разд. 3.2.2); определяются некоторые точные модели как для случая известных средних (§ 6.5), так и для случая, когда средние неизвестны, включая модели с трендом (§ 6.6). Эти модели связываются с определениями сериальных коэффициентов корреляции. При их исследовании используются циклические сериальные коэффициенты корреляции, а также коэффициенты, основанные на сумме квадратов последовательных разностей. Мы получим точные распределения некоторых сериальных коэффициентов корреляции (§ 6.7) и их приближенные распределения (§ 6.8), а также найдем некоторые совместные распределения (§ 6.9). Использование сериальных корреляций в качестве оценок будет рассмотрено позднее,