7.2.2. Примеры стационарных случайных процессов с дискретным параметром

Рассмотрим несколько примеров стационарных случайных процессов.

Пример 7.1. Пусть независимы и одинаково распределены с

Тогда

Этот процесс стационарен в узком смысле. Если отбросить условие одинаковой распределенности величин (в то время как (9) и (10) сохраняются), то результирующий процесс будет все же стационарен в широком смысле.

Пример 7.2. Пусть все тождественно равны случайной величине у. Тогда, если существуют два первых момента

Этот процесс стационарен в узком смысле.

Пример 7.3. Определим последовательность следующим образом:

где постоянные, а случайные величины, такие, что

Тогда

Следовательно, процесс стационарен в широком смысле. Если нормально распределены, то у будут также распределены

Рис. 7.1. Определение параметров

нормально, так как они являются линейными комбинациями величин и . В этом случае процесс будет стационарным в узком смысле. Этот процесс можно также представить следующим образом:

где (как на рис. 7.1)

Если распределены нормально, то пропорционально с двумя степенями свободы и равномерно распределено между (ввиду симметрии нормального распределения) и не зависит от Для доказательства стационарности процесса заметим, что

где равномерно распределено на интервале длины Таким образом, имеют одно и то же распределение. Если имеют распределение, отличное от нормального, то последовательность не обязательно стационарна в строгом смысле.

Этот пример важен потому, что в известном смысле каждый слабо стационарный случайный процесс с конечной дисперсией можно аппроксимировать линейными комбинациями, аналогичными правой части (13).

Пример 7.4. Процесс скользящего среднего.

Пусть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, а

последовательность чисел. Определим процесс скользящего среднего

Это стационарный случайный процесс. Если то

и последовательность стационарна в широком смысле. Для того чтобы последовательность определенная формулой (24), была стационарна в широком смысле, необходимо только, чтобы величины имели одни и те же среднее значение и дисперсию и были взаимно не коррелированы.

Мы можем также определить процесс скользящего среднего с бесконечными пределами суммирования. Бесконечная сумма

означает случайную величину если она существует, такую, что

Если выполнено

такая случайная величина существует (следствие 7.6.1). Говорят, что сумма (27) сходится в среднем или среднеквадратичном. Бесконечная сумма

определяется как случайная величина такая, что

Достаточным условием существования случайной величины является

Условия (29) и (32) являются достаточными, если не коррелированы и имеют общие среднее и дисперсию. Но, вообще говоря, эти случайные величины могут быть зависимыми.

Пример 7.5. Процесс авторегрессии. В гл. 5 мы рассматривали процесс, удовлетворяющий стохастическому разностному уравнению

где независимы и одинаково распределены со средним нулевым значением. Если корни связанного с данным процессом характеристического уравнения

меньше 1 по абсолютной величине, то (33) можно переписать следующим образом:

где правая часть сходится в среднем. Таким образом, последовательность стационарна в узком смысле. Если не коррелированы и имеют общие среднее значение и дисперсию могут быть зависимыми и неодинаково распределенными), то процесс стационарен в широком смысле. В § 5.2 было показано, что ковариационная последовательность удовлетворяет разностному уравнению

Если корни характеристического уравнения (34) различны, скажем то

и постоянные определяются из условий

где

Пример 7.6. Процесс авторегрессии со скользящим усреднением остатков. Две предыдущие модели могут быть объединены, т. е. в качестве возмущения стохастического разностного уравнения

можно взять процесс скользящего среднего. Таким образом,

где независимы и одинаково распределены. Тогда процесс стационарен в узком смысле. Если не коррелированы и имеют общие среднее значение и дисперсию, то стационарен в широком смысле.

Пример 7.7. Процесс авторегрессии с ошибкой. Пусть удовлетворяет стохастическому разностному уравнению (33); определим

где независимы, одинаково распределены и не зависят от Если процесс стационарен в узком смысле, то и стационарен в узком смысле. Если стационарен в широком смысле и не коррелированы, имея общие среднее и дисперсию, то процесс также стационарен в широком смысле.

Пример 7.8. Это пример процесса, стационарного в широком, но не стационарного в узком смысле. Пусть

где равномерно распределено на интервале ( Тогда Эти случайные величины некоррелированы, несмотря на функциональную и статистическую зависимость.

Пример 7.9. Рассмотрим еще один стационарный в широком смысле процесс, связанный с примером 7.3,

где независимы и равномерно распределены на интервале Тогда и

что совпадает с (19).