3.4.4. Оценивание дисперсии ошибки

Мы показали, что если тренд на коротких интервалах близок к полиному низкой степени, то полученная последовательность разностей имеет средние, близкие к нулю. Если эти средние значения равны нулю, то

является несмещенной оценкой Для произвольного тренда

Пусть Тогда дисперсия при равна произведению на величину

Лемма 3.4.3. Пусть , где А — симметричная матрица, если индексы не равны попарно. Тогда

Лемма 3.4.4. В условиях леммы 3.4.3 дисперсия величины выражается соотношением

Если нормально распределены, то и первый член в правой части (41) равен 0. Положим

и пусть Тогда

(см. скан)

Кроме того, При вычисления дают:

Здесь четвертый семиинвариант.

Общее выражение для дисперсий величин найти трудно из-за того, что элементы в обоих концах каждой диагонали А, отличаются от элементов, расположенных ближе к середине. Запишем в виде

Элемент равен коэффициенту при в (52), так что

Первая сумма здесь вычислена с использованием тождества

и равна коэффициенту при в последнем выражении. Остальные отличные от нуля элементы суть

Теперь можно подсчитать и указанные дисперсии, однако вычисления утомительны. Для четных

поскольку

Подобным же образом, если то

ввиду того что

В обоих случаях главный член равен

Для можно найти, что

(см. упр. 550 так что главный член в записывается в виде

При второе слагаемое равно

Кендалл и Стьюарт [1966, стр. 389)] приводят его к виду Таким образом при

где - четвертый семиинвариант, а определяется из (56) или (58). [Кендалл и Стьюарт (1966, стр. 389) приводят выражение и для

Если велико, то дисперсия V, приблизительно равна

При нормально распределенных семиинвариант равен 0.

Поскольку дисперсия при стремится к нулю, то является состоятельной оценкой для Можно показать, что, когда существует, независимы и одинаково распределены, величина

имеет в пределе стандартное нормальное распределение со средним 0 и дисперсией 1. (См. разд. 3.4.5.) Если то дисперсия асимптотически эквивалентна и последняя величина служит мерой эффективности как оценки для Как и следовало ожидать, дисперсия с ростом возрастает.

Лемма 3.4.5. Ковариация двух (симметричных) квадратичных форм в условиях леммы 3.4.3 выражается соотношением

Можно показать, что ковариация V, и приближенно равна

Точная формула для ковариации отличается от (68) слагаемыми, возникающими из-за того, что коэффициенты членов, близких к концам ряда, отличаются от коэффициентов членов, близких к его середине. Кендалл и Стьюарт (1966, стр. 389) приводят точное выражение для этой ковариации в случае .

Кенуй (1953) указал, что линейная комбинация где также является несмещенной оценкой для (если Если то наилучшая несмещенная оценка для поскольку в этом случае . В предположении нормальности она является достаточной статистикой для (Если следовательно, то в предположении нормальности достаточное множество статистик образуют статистики Для Кенуй поставил вопрос о том, какая линейная комбинация имеет минимальную дисперсию для и различных значений Если то «наилучшими» коэффициентами будут . Соответствующая дисперсия равна 3/4 дисперсии Оказывается, что знаки коэффициентов этих линейных комбинаций чередуются. Таким образом, нет уверенности в том, что оценка получится положительной. Поскольку эти коэффициенты существенно больше единицы, то можно ожидать, что вероятность получения отрицательного значения оценки вовсе не мала.

Постановка этой задачи приводит к вопросу о причинах ограничений на числа что более важно, о причинах, по которым статистик ограничивается только суммой квадратов переменных разностей. Что следует считать наилучшей оценкой когда тренд «гладкий»? Трудность состоит здесь в необходимости такого достаточно строгого определения «гладкости», при котором задача наилучшего оценивания была бы математически определена. Если гладким считать тренд, являющийся полиномом степени то наилучшей оценкой будет оценка, приведенная в § 3.2. Любые другие определения гладкости являются либо недостаточно четкими, либо слишком сложными.

Кендалл (1946а, задача 30.8) предложил модифицировать метод переменных разностей путем введения фиктивных переменных и

подсчета сумм квадратов для значений от до Т. В таком случае существуют простые соотношения, связывающие эти суммы квадратов с суммами попарных произведений 2 Кенуй (1953) предложил другую модификацию, связанную с изменением крайних членов. Так, например, у него модифицированная сумма равна среднему двух модифицированных сумм

где

Далее, можно использовать модифицированные суммы и связать их. Иная модификация, приводящая к некоторым упрощениям, состоит в использовании вместо (См. гл. 6.)