8.3.3. Выборочная спектральная плотность

Рассмотрим теперь асимптотические средние значения и дисперсии величин Заметим, что а

Теорема 8.3.4. Если сходится, то

Если непрерывна при то

Доказательство. Теорема следует из (66) § 8.2 и леммы 8.3.1 и из (67) § 8.2 и леммы 8.3.3.

Теорема 8.3.5. Если то

Доказательство. Из (66) § 8.2 имеем

Так как

отсюда следует утверждение теоремы.

Для изучения асимптотического поведения докажем следующую лемму.

Лемма 8.3.4. Если ограничена на для некоторого то

Доказательство, Имеем

для каждого Если то влечет за собой и

Так как может быть выбрано произвольно малым, отсюда и следует утверждение леммы.

Теорема 8.3.6. Если непрерывна при то

Доказательство. Из (71) § 8.2 получаем, что

Из леммы 8.3.4 следует, что первое слагаемое в правой части имеет предел 0. Второе слагаемое есть умноженный на интеграл, сходящийся к

Заметим, что в то время как Теперь, применяя лемму 8.3.4 к выражению

получаем следующую теорему.

Теорема 8.3.7.

если непрерывна при и предел справа существует;

если непрерывна при и предел справа существует;

если непрерывна при и предел справа существует, и

если ограничена на ( для некоторого и предел справа в (75) существует.

Лемма 8.3.5. Если

то

Доказательство. Сделав замену имеем

Следствие 8.3.3. Если (76) выполняется и непрерывна при то

Если непрерывна при то

Если ограничена на для некоторого то

Важно заметить, что дисперсия величины не стремится к 0 при . В действительности, как мы увидим позднее, не является состоятельной оценкой для [так как имеет предельное -распределение]. Более того, для асимптотически некоррелированы. Это предполагает усреднение по некоторому интервалу для улучшения оценки величины

Семиинварианты четвертого порядка в выражениях ковариаций для равны 0, если процесс гауссовский. Если линейный процесс, то соответствующий член, умноженный на равен

где для для с 0. Абсолютное значение выражения (82) не больше, чем

а последнее конечно, если Таким образом абсолютное значение выражения (82) ограничено абсолютно сходящимся рядом.

Следствие 8.3.4. Если процесс порожден тогда: если непрерывна при , то

если непрерывна при

и если ограничена на и для некоторого то

Вычисление предела выражения (82) представляет особый интерес. Тройная сумма для в правой части (82), деленная на равна

Для данного

Таким образом, предел (87) есть

Из соображений удобства вывод был проведен для Результат же имеет место для каждой пары целых чисел Окончательно пределом (82) является выражение

Эти преобразования возможны ввиду сходимости ряда Рассмотрим теперь предельные ковариации функции

В этом случае

Если и если мы заменим С на то (92) аппроксимируется выражением

Возможность аппроксимации следует из эвристических соображений.

Найдем предельные дисперсии и ковариации величин из разд. 8.2.3.

Теорема 8.3.8. Если непрерывна при то

если непрерывна при

непрерывна при то

если непрерывна при то

Если и имеют нормальное предельное распределение, то и имеют нормальное предельное распределение со средним значением 0, дисперсией 1 и корреляцией 0, а выражение

имеет предельное -распределение с 2 степенями свободы.