8.2.3. Моменты выборочной спектральной плотности

Рассмотрим теперь первый и второй моменты выборочной спектральной плотности определяемой формулой (21), если среднее значение известно. Первый момент равен

так как Его можно переписать в виде

Теорема 8.2.7.

где

Ядро симметрично, имеет максимум при и периодично с периодом Это ядро называется ядром Фейера [см., например, Ланцош (1956, гл. IV, разд. 2)]. Математическое ожидание величины не равно а является взвешенным интегралом функции . Так как есть бесконечный ряд с коэффициентами то, вообще говоря, не может быть несмещенной оценкой, так как включает только величин Мы покажем в следующем параграфе, что

Заметим также, что

где коэффициенты даны в формулах (51) — (55).

Для вычисления этого математического ожидания в виде интеграла от спектральной плотности запишем

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Нам будет полезно также знать ковариации косунус- и сунус-преобразований

Теорема 8.2.9.

(см. скан)

Доказательство имеем

(см. скан)

Теорема следует из рассмотрения действительной и мнимой частей (82) и (83).