добавим все случайные величины, которые являются пределами в среднеквадратичном последовательностей случайных величин, уже принадлежащих пространству.
Если х и у — два элемента гильбертова пространства, то 
назовем скалярным произведением, 
нормой 
расстоянием между х и у. Если 
то будем считать х и у совпадающими. Последовательность элементов 
сходится тогда и только тогда, когда она удовлетворяет критерию Коииг, а именно: для любого заданного 
существует 
такое, что для 
и 
выполняется неравенство
Гильбертово пространство, порожденное последовательностью 
является полным в том смысле, что любая последовательность Коши имеет предел, принадлежащий этому пространству. Мы будем писать 
подразумевая, что 
когда 
Теорема 7.6.1. Если 
при 
то существует случайная величина х, такая, что 
при 
Доказательство. Из неравенства Чебышева следует, что 
— сходится к 0 по вероятности при 
Тогда существует последовательность 
и случайная величина 
такие, что 
сходится к 
с вероятностью 1 [Лоэв (1963, § 6.3)]. Для каждого фиксированного 
разность 
сходится к 
с вероятностью 1. Тогда из уравнения теоремы Фату — Лебега [Лоэв (1963, § 7.2)] и из условия 
при 
следует
когда 
Полезным критерием для сходимости является
Теорема 7.6.2. Если 
при 
то 
Доказательство,
Следствие 7.6.1. 
, то существует случайная величина х, такая, что 
В общем случае гильбертово пространство есть полное линейное векторное пространство со скалярным произведением. Линейное векторное пространство состоит из элементов (иногда говорят точек, векторов) 
для которых определены операция сложения, ставящая в соответствие двум элементам х и у третий элемент 
и операция умножения на действительное число 
эти операции удовлетворяют следующим условиям:
Соотношения (4) выполняются для любых элементов х, 
векторного пространства и для любых действительных чисел 
Кроме того, существует единственный элемент 0, называемый нулем (не путайте с числом 
), такой, что для любого х из векторного пространства 
Скалярное произведение есть действительная функция 
двух элементов, для которой выполняются следующие условия:
В евклидовом пространстве скалярное произведение есть 
Для конечных линейных комбинаций множества случайных величин и их пределов скалярное произведение есть 
Теорема 7.6.3. (Неравенство Коши — Шварца.)
Доказательство. Теорема следует из неравенства
при
Норма элемента определяется при помощи скалярного произведения как 
часто ее записывают в виде 
Она удовлетворяет следующим условиям:
Последнее неравенство (неравенство треугольника) следует из неравенства Коши — Шварца:
Норма 
задает расстояние между х и у и называется метрикой пространства.
Последовательность называется последовательностью Коши если
Элемент 
есть предел последовательности 
если
Нормированное линейное векторное пространство полно, если в нем существует предел любой последовательности Коши, принадлежащей пространству.
Для любого гильбертова пространства скалярное произведение двух элементов является непрерывной функцией этих элементов.
Теорема 7.6.4. Если 
при 
то
Доказательство. Из неравенства Коши — Шварца имеем
Правая часть в (13) сходится к 0.
Следствие 7.6.2. Если 
то 
Если в гильбертовом пространстве, порожденном последовательностью 
скалярное произведение 
определяется как 
то теорема 7.6.4 подтверждает существование пределов дисперсий и ковариаций в § 7.4 и 7.5.
Эту последовательность случайных величин будем считать случайным стационарным процессом в широком смысле. Для удобства положим 
нас будут интересовать только моменты второго порядка. Пусть 
Будем считать случайные переменные 
элементами или точками нашего гильбертова пространства. Конечные линейные комбинации 
где о есть конечное множество (положительных или отрицательных) целых чисел, также являются точками этого пространства. Наконец