2.5. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Займемся теперь прогнозированием значения в момент Если функция регрессии известна, то известно также будет наилучшим образом прогнозировать значение в том смысле, что при этом минимизируется среднеквадратичная ошибка прогноза.

Предположим теперь, что имеются наблюдения по которым мы хотим предсказать значение причем где неизвестный, известный векторы. Представляется разумным оценивать вектор с помощью оценки наименьших квадратов b и в качестве прогноза использовать

Займемся обоснованием такой процедуры. При этом будем рассматривать только линейные прогнозы Коэффициенты d, могут зависеть от Прежде всего потребуем, чтобы прогноз был несмещенным, т. е., чтобы

Тем самым, прогноз должен быть несмещенной оценкой для Мы требуем также минимальности дисперсии (или, что равносильно, среднеквадратичной ошибки прогноза)

Итак, задача состоит в том, чтобы отыскать несмещенную линейную оценку с наименьшей дисперсией для линейной комбинации коэффициентов регрессии Из теоремы Гаусса — Маркова следует, что такой оценкой является Это вытекает из предыдущих рассуждений, поскольку данную модель можно преобразовать таким образом, что будет компонентой если один из столбцов будет совпадать с Дисперсия оценки равна

Среднеквадратичная ошибка прогноза есть

Указанное свойство прогноза можно сформулировать иначе. Этот прогноз минимизирует среднеквадратичную ошибку прогноза в классе всех линейных прогнозов, имеющих ограниченную среднеквадратичную ошибку. (См. упр. 15.)

Если предполагать, что наблюдения подчиняются нормальному закону, то можно построить доверительный интервал для При этом предположении случайная величина распределена нормально с нулевым средним и дисперсией (4) и не зависит от Поэтому величина

имеет -распределение с степенями свободы. Доверительный интервал для с коэффициентом доверия имеет вид

Здесь определяется из условия, что вероятность попадания случайной величины, имеющей -распределение с степенями свободы, в интервал равна

Изучим теперь ошибку прогноза для случая, когда некоторыми независимыми переменными пренебрегают. Предположим, что компоненты вектора перенумерованы таким образом, что

разбивается, как и прежде, на блоки и что вкладом от пре небрегают, т. е. предполагают ошибочно, что регрессия является ли нейной функцией только от а не от всего Запишем для удобства в виде где определяется соотношением причем и

При этом векторы ортогональны, и

Оценкой для является

Ее статистические свойства выражаются формулами

Прогноз для момента равен и имеет смещение

Его дисперсия равна

а среднеквадратичная ошибка есть

Пренебрежение вкладом от приводит, в общем случае, к смещению прогноза, но уменьшает его дисперсию. (См. упр. 18.)

В некоторых случаях можно ожидать, что прогнозирование проводится в ситуациях, когда векторы для последующих значений подобны векторам для ранее наблюдавшихся значений. Сумма квадратов смещений

пропорциональна параметру нецентральности распределения F-статистики для проверки гипотезы Этот факт можно считать еще одним основанием для предпочтения F-критерия всем другим критериям для проверки этой гипотезы.