7.5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД СТАЦИОНАРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

7.5.1. Ковариационные и спектральные функции процессов, полученных линейными операциями над стационарными процессами

Пусть случайный процесс со средним ковариационной функцией и спектральной функцией (Процесс стационарен в широком смысле.) Новый процесс может быть получен с помощью некоторой линейной операции над процессом

где последовательность постоянных величин. Если ряд в формуле (1) бесконечен, определим как предел в среднем (предполагая, что он существует). Эта операция иногда называется линейным фильтром.

Среднее значение полученного процесса равно 0, а

является его ковариационной функцией.

Случайная величина существует как предел в среднем (когда ряд (1) бесконечен) тогда и только тогда, когда правая часть в (2) сходится при (следствие 7.6.1). В этом случае правая часть есть не что иное, как (теорема 7.6.4). Равенство (2) показывает, что процесс стационарен в широком смысле.

Спектральная функция процесса получается из формулы (2), которая может быть записана в виде

Таким образом, спектральная функция процесса имеет вид

и

Если имеет спектральную плотность то имеет спектральную плотность

Функцию иногда называют частотной характеристикой линейного фильтра или передаточной функцией, а называют передаточной функцией мощности.

Теорема 7.5.1. Если имеет спектральную функцию то процесс определенный формулой (1), имеет спектральную функцию (4). Если имеет спектральную плотность то спектральной плотностью процесса является (6).