Главная > Статистический анализ временных рядов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.3.2. Асимптотическое смещение

Если представляется желательным состоятельно оценить сама значение плотности в точке а не усредненное значение то для этого следует выбрать такую последовательность оценок, что соответствующая последовательность математических ожиданий будет сходиться к для широкого класса плотностей. Будем брать коэффициенты зависящими от и возьмем оценку спектральной плотности в виде

где

Здесь мы пишем вместо чтобы указать на количество используемых наблюдений. Последовательность при каждом является числовой, Для Сами же образуют последовательность функций. Математическое ожидание оценки равно

где

Мы хотим, чтобы

для всех спектральных плотностей из некоторого интересующего нас класса.

Большинство оценок, описанных в разд. 9.2.3, определяется коэффициентами вида

где обозначение для указывает на зависимость от Т. Функция удовлетворяет при этом условиям

так и поэтому Функция должна быть непрерывной в нуле. Асимптотическое смещение оценки зависит от степени гладкости функции в нуле. Теоретическое исследование асимптотических смещения, дисперсии и среднеквадратичной ошибки было проведено Парзеном (1957b), построений которого мы и будем придерживаться в дальнейшем.

Предположим, что существуют такие числа что

является наибольшим показателем, при котором еще Если число целое и четное, то равно рзятому противоположным знаком значению производной функции в точке деленному на Если целое и нечетное, то равно взятому с противоположным знаком значению правой производной функции в точке деленному на Из условия вытекает, что в некоторой окрестности нуля функция к убывает с удалением х от нуля. Для малых функция хорошо аппроксимируется функцией Если и то [При соответствующих условиях при см. упр. 17.] Константа в некотором смысле указывает ширину окон соответствующего семейства.

Асимптотическое смещение оценки спектральной плотности зависит также от степени гладкости самой спектральной плотности. Предположим, что для некоторого

Пусть

для целых Тогда является 5-й производной Из условия (22) вытекает, что все производные порядка не выше ограничены и непрерывны. Пусть последовательность целых чисел, зависящих от таким образом, что при Тогда (при для

Первый член в правой части (24) можно записать в виде

для любого целого . В силу условия (21) для любого найдется такое что при

В частности, (26) будет выполнено для всех участвующих в формуле (25), если положить где указанное выше число. Поэтому при первый член в (25) с точностью до равен

Последнее выражение стремится к значению где

Если то первый член в (25) с точностью до равен

Последнее выражение не превосходит по абсолютной величине

которое может быть сделано сколь угодно малым соответствующим выбором Далее, если то

Поэтому второе слагаемое в (25) по абсолютной величине не превосходит значения

стремящегося к нулю. Что касается второго члена правой части (24), то его абсолютная величина не превосходит значения

стремящегося к нулю при Если то (33) не превосходит

стремящегося к 0 при Наконец, третий член правой части (24) мажорируется по абсолютной величине выражением

стремящимся к 0 при условии (22). Теорема 9.3.3. Пусть

где к для некоторого и всех кроме того, для некоторых Пусть некоторая последовательность целых чисел, такая, что при Тогда если для выполнено условие

и при этом или , то

Если условие (37) выполняется для при этом или , то

Условия, указанные в теореме, можно свести в следующую таблицу.

Таблица 9.3.1 (см. скан) условия теоремы 9.3.3

Теорема 9.3.3 показывает, что если степень гладкости весовой функции превосходит степень гладкости спектральной плотности, то смещение является величиной порядка Если же то смещение приближенно равно т. е. уменьшается пропорционально величине . И в том, и в другом случае оценка является асимптотически несмещенной. Теорема устанавливает порядок смещения. Если рассматривается класс процессов с вполне определенным значением то величину смещения можно (в смысле теоремы 9.3.3) сделать малой, выбирая ядро Если то смещение уменьшают выбором ядра с малым значением Заметим, что при четном правая часть (38) равна

Соответствующие характеристики для рассмотренных выше примеров приведены в табл. 9.3.2.

Таблица 9.3.2 (см. скан) Характеристики окон

Значение в точке можно оценить и тогда, когда среднее неизвестно. Для этого можно использовать оценку которая устроена аналогично только вместо используются ковариации основанные на отклонениях от выборочного среднего. Вместо можно использовать также и . В конце § 9.4 показывается, что если при то смещения оценок асимптотически эквивалентны.

1
Оглавление
email@scask.ru