5.3. РЕДУКЦИЯ ОБЩЕГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ К ВЕКТОРНОМУ УРАВНЕНИЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Для изучения стохастического разностного уравнения (1) § 5.2 его удобно записать в форме векторного уравнения первого порядка. Положим

Тогда указанное стохастическое разностное уравнение можно переписать в виде

Первое скалярное уравнение из (4) есть в точности уравнение (1) из § 5.2, а все остальные являются тождествами. Таким образом, скалярное стохастическое разностное уравнение порядка оказывается частным случаем векторного стохастического разностного уравнения первого порядка.

Рассмотрим теперь общее стохастическое разностное уравнение первого порядка относительно вектора с компонентами:

Здесь случайный вектор с нулевым средним и ковариационной матрицей причем а матрица Если в (5) последовательно производить подстановку

для то в конце концов придем к представлению

Пусть К — характеристические корни матрицы —В, т. е. корни уравнения

Если все эти корни различны, то найдется матрица С, такая, что

где — диагональная матрица

В этом параграфе, а также в § 5.5 и 5.6 мы получим ряд результатов, справедливых в случае, когда все характеристические корни

матрицы В (или В) лежат в единичном круге. Так как вычисления с использованием общей жордановой канонической формы трудоемки, будем доказывать соответствующие результаты исходя из диагонального характера матрицы Что касается общего случая, то здесь мы предлагаем читателю обратиться к подстрочным примечаниям и к упражнениям. Из соотношения (9) имеем

где

Поэтому (7) можно записать в виде

Ряд в правой части сходится тогда и только тогда (в среднеквадратичном, см. разд. 7.6.1), когда Действительно,

В предположении стационарности ковариационная матрица

не зависит ни от ни от 5. Поэтому ковариационная матрица разности (14) равна

Поскольку каждый элемент матрицы (16) является линейной комбинацией элементов он будет сходиться к нулю при только когда каждое (Для того чтобы было верно и

обратное, т. е. чтобы условие было также и необходимым для сходимости ряда в (13), требуется невырожденность ковариационной матрицы вектора

Обратимся снова к соотношению (4), представляющему собой векторную форму записи скалярного уравнения порядка Покажем, что корни характеристического уравнения (23) из § 5.2. совпадают с корнями уравнения

Определитель

легко вычислить последовательно, прибавляя к каждому столбцу столбец, предварительно умноженный на При этом получим

а это и есть характеристический полином из (23) § 5.2. Поскольку предполагается, что все корни этого полинома лежат в единичном круге, то таковыми же будут и характеристические корни матрицы . Отсюда вытекает, что сумма

является определенной (т. е. ряд (20) сходится в среднем).

Еслй все корни различны, то найдется матрица С, такая, что где

Тогда, как следует из предыдущего, (20) можно записать аналогично (13). При этом первая компонента равна

где Это соотношение эквивалентно представлению (28) § 5.2. Таким образом, представление (28) можно получить еще одним способом. Именно, для этого следует найти матрицу С, столбцы которой являются характеристическими векторами матрицы —В, и использовать (22). (См. упр. 20.)

В случае общего векторного уравнения соотношение (13) можно использовать для отыскания ковариационной матрицы вектора при заданных матрицах Действительно (при ), искомая матрица имеет вид

Здесь

Если определяются исходя из матрицы В, то выражение (24) можно упростить:

Если умножить (5) на транспонированное (7), а также на транспонированное (7) с заменой в последнем индекса на то получим

Поскольку можем, действуя последовательно, получить из (26)

Беря последнее выражение при и подставляя его в транспонированном виде в (25) вместо получим соотношение

или

Решение системы линейных уравнений (29) является, таким образом, еще одним способом отыскания матрицы При этом можно взять в качестве начального приближения и применить итерационный метод, вычисляя последовательные приближения

это даст нам возможность вычисления

В векторное уравнение независимые переменные можно ввести, полагая

При этом модель принимает вид

и