8.4.5. Выборочные корреляции

Если выборочные ковариации имеют нормальное предельное распределение, то же самое выполняется и для выборочных корреляций. Однако существование нормального предельного распределения корреляций может быть доказано и при более слабых условиях. Мы сделаем это в данном разделе. Соответствующий результат был приведен в теореме 5.7.1 для конечного процесса скользящего среднего.

Если то можно написать

Знаменатель ведет себя, как числитель имеет предельную ко вариацию

поскольку если ряд сходится. (См. разд. 8.3.2.) Если независимы и то

Поэтому предельная ковариация (45) не зависит от Когда величины имеют нормальное предельное распределение, тогда величины и имеют нормальное предельное распределение средними значениями 0 и ковариациями

которые являются интегральным представлением предельных ковариаций. Так как предельное распределение не зависит от можно ожидать, что результат получится при ограничениях только на вторые моменты.

Теорема 8.4.6. Пусть состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин с Пусть Тогда совместное распределение величин где стремится к где дается формулой (47).

Следствие 8.4.3. В условиях теоремы 8.4.6 совместное распределение величин где стремится к при где дается формулой (47).

Доказательство. Сначала мы докажем, что имеет своим предельным распределением Это будет следовать из того, что предельное распределение

где мы полагаем есть с

Пусть

где определены в (3) и

Подставляя выражения для в (50), имеем

Пусть обозначает выражение, полученное из путем отбрасывания всех членов, содержащих а именно

Лемма 8.4.1. В условиях теоремы 8.4.6 предельное распределение величины при есть где

причем когда когда

Доказательство. Это было доказано в разд. 5.7.3. Пусть обозначает выражение, полученное заменой на в (48) и отбрасыванием всех членов, содержащих а именно

Лемма 8.4.2. В условиях теоремы 8.4.6 предельное распределение величины есть где дается формулой (49).

Доказательство. Предел распределения (которое является предельным распределением для 2% при ) есть когда так как

что эквивалентно (49). Лемма 8.4.2 будет вытекать из следствия 7.7.1, если мы покажем, что

Пусть

Тогда

где

Поэтому из (53), (56) и (60) будем иметь

где получается из путем представления последнего линейной: комбинацией конечного или счетного числа членов вида или исключая все члены, для которых

Теперь мы имеем

Например,

Если

то мы имеем или и тогда или и тогда причем значение для ненулевой компоненты в последней сумме (66) (если такое имеется) однозначно

определяется значением Из этого следует, что

приводит к

которое показывает, что (65) имеет место для Аналогичные рассуждения применяются для , а для мы пользуемся тем, что Тогда получим (58) из (65), используя неравенство

Это доказывает лемму 8.4.2.

Лемма 8.4.3. В условиях теоремы 8.4.6 предельное распределение есть когда

Доказательство. Имеем

где

Тогда

и

поскольку

Таким образом

Это доказывает лемму 8.4.3.

Лемма 8.4.4. В условиях теоремы 8.4.6 предельное распределение для при есть

Доказательство. Это следует из леммы 8.4.3 и условий

и

Последняя формула вытекает из следующей записи

и использования

когда

когда . В разд. 5.7.3 было показано, что

когда Это доказывает лемму 8.4.4.

Для полного доказательства теоремы 8.4.6 отметим, что аналогичным образом можно показать, что для где произвольный набор постоянных, предельное распределение есть Тогда по теореме 7.7.7 следует, что совместное предельное распределение для есть

Следствие вытекает из теорем 8.4.6 и 8.4.1, поскольку а значит, и сходятся по вероятности к 0 при

Теорема 8.4.6, которая предполагает существование только вторых моментов величин была доказана Т. Андерсоном и А. Уолкером (1964). В предыдущих работах существование старших моментов величин всегда предполагалось. Например, Манн и Вальд (1943b) при использовании стохастических разностных уравнений полагали, что для всех Диананда (1953) предполагал, что Это является ослаблением условия использованного ранее Хёффдингом и Роббинсом (1948). А. Уолкер (1954), обобщая метод Диананды для произвольного линейного процесса, сохраняет его условие и требует, чтобы (Диананда и А. Уолкер рассматривали обобщение линейного процесса, в котором есть просто стационарный процесс с конечной зависимостью.) [Тот факт, что члены, соответствующие в (45) не входят (это впервые заметил Бартлетт (1946, стр. 29)), делает правдоподобной гипотезу о том, что можно не предполагать конечности Действительно, Т. Андерсон (1959, разд. 4) доказал результат, эквивалентный асимптотической нормальности величины для стохастического разностного уравнения первого порядка. Настоящее доказательство, по существу, представляет собой обобщение указанного метода.