9.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ И КОВАРИАЦИИ ОЦЕНОК СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

9.3.1. Оценивание взвешенных средних от спектральной плотности

В § 9.2 были исследованы математические ожидания оценок спектральных плотностей. Из соотношений (16) и (19) § 9.2 путем соответствующих подстановок могут быть найдены также и вторые моменты этих оценок, т. е. их дисперсии и ковариации. Однако вторые моменты оказывается весьма трудно интерпретировать. Поэтому вместо этих моментов мы рассмотрим предельные значения (при соответствующим образом нормированных оценок. Рассмотрим последовательность оценок

где некоторая фиксированная последовательность удовлетворяющая условию

Мы пишем здесь вместо указывая тем самым на то, что используется ровно наблюдений. Пусть

Тогда (в силу леммы 8.3.1) где

Отсюда в свою очередь вытекает, что

Таким образом, указанная последовательность (1) является асимптотически несмещенной оценкой взвешенного среднего функции представляемого правой частью соотношения (5). Поскольку условие (2) влечет за собой непрерывность функции та указанное взвешенное среднее не тождественно самой

Дисперсия оценки имеет порядок Положим

Применение теоремы 8.3.3 приводит к соотношению

в котором

Если выполнено условие то из (2) следует, что при первое слагаемое в правой части (7) имеет предел Если к тому же величина равномерно ограничена по то при

существует предел и у второго слагаемого в правой части. Используя аналог следствия 7.7.1 (см. упр. 15), получаем, что предел при левой части (7) совпадает с

Теорема 9.3.1. При выполнении условия (2) предел математического ожидания оценки определяемой соотношением (1), равен где функция, указанная в (3). Если при этом спектральная плотность непрерывна на отрезке а величина равномерно ограничена, то

Если

линейный процесс, то

и второе слагаемое в правой части (9) принимает более простой вид.

Следствие 9.3.1. Если последовательность порождается с помощью соотношения (10), в котором пра выполнении условия (2)

В разд. 8.4.2 (теорема 8.4.2) было показано, что для линейного процесса, получаемого с помощью независимых и одинаково распределенных случайных величин, всякий конечный набор выборочных ковариаций имеет асимптотически нормальной распределение. Поэтому при любом фиксированном К предельное распределение величины будет нормальным

Применение следствия 7.7.1 показывает, что оценка также асимптотически нормальна.

Теорема 9.3.2. Если процесс порождается соотношением в котором последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с при выполнении условия (2) вектор имеет в пределе (при нормальное распределение с нулевым средним и ковариациями, задаваемыми по формуле (12).

Пусть оценка определяется аналогично оценке (1), на в правой части заменяются на где обозначает выборочную ковариацию, использующую отклонения от выборочного среднего (и деленную на Тогда имеет тот же предел (5) и к применимы теорема 9.3.1, следствие 9.3.1 и теорема 9.3.2. Подобным же образом можно заменить на или и получить те же самые предельные результаты.