4.3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ ДЛИНЫ РЯДА

4.3.1. Оценки наименьших квадратов для коэффициентов и дисперсии

Рассмотрим теперь модель где периодическая функция с известными периодами, нацело делящими Т. Таким образом, периоды задаются числами где подмножество последовательности целых чисел если нечетное, или если четное. В последнем случае можно, кроме того рассмотреть и период 2.

Отсюда следует, что для возможно представление 4

где слагаемое с периодом 2 не включено. Если же четное, то с учетом слагаемого с периодом можно представить в виде

Входящие сюда тригонометрические функции образуют некоторое подмножество функций, составляющих столбцы матрицы Вполне вероятно, что в (2) придется включить все таких функций, но обычно их требуется меньше. Например, если ежемесячные данные накапливаются в течение лет, то и для получения представления сезонного изменения следует взять константу и 11 членов с наименьшими периодами

При этом соответствующие частоты равны и 1/12. Если период равен 2, то в сумме (2) будет только одно слагаемое, отличное от константы. Это слагаемое вместе с константой полностью представляют цикл периода 2 (т. е. поочередное изменение между двумя фиксированными значениями). Каждому из следующих по величине периодов соответствуют два слагаемых, косинус и синус. Пара таких слагаемых представляет косинусоиду, как правило сдвинутую. В связи с этим можно переписать (1) и (2) соответственно в виде

где

Рассмотрим теперь задачу оценивания параметров методом наименьших квадратов. Пусть являются оценками наименьших квадратов для соответственно. Тогда нормальные уравнения для этих оценок имеют вид

если представляется в виде (1), или

(см. скан)

если представляется в виде (2). Вследствие ортогональности тригонометрических функций матрица коэффициентов при оценках диагональна. Поэтому решениями нормальных уравнений будут

и в случае (9)

Интересно отметить, что выражения (10) — (13) можно получить также другим способом, подставляя в (1) или (2) вместо коэффициентов их оценки а вместо значения Применение обратной формулы Фурье дает выражения указанных коэффициентов через величины

Оценка наименьших квадратов для дается формулой

если представляется соотношением (1), или формулой

если представляется соотношением (2).

Оценками параметров являются соответственно

Эти оценки можно получить непосредственно; минимизируя по параметрам когда представляется в виде (4), или по тем же параметрам и по параметру если представляется соотношением (5).

Пример 4. 1. Рассмотрим данные (опубликованные департаментом сельского хозяйства США (1939, стр. 390)] табл. 4.1 о поступлении масла (в млн. фунтов) на пяти рынках (Бостон, Чикаго, Сан-Франциско, Милуоки и Сент-Луис).

Таблица 4.1 (см. скан) Поступление масла на пяти рынках

Мы хотим оценить константу коэффициент соответствующий периоду 2 (частоте ), и пары коэффициентов, соответствующих (наименьшим) периодам и 1/12 соответственно). Пусть

— сумма значений наблюдений для месяца за три года. В силу периодичности тригонометрических функций имеем:

Таблицы этих тригонометрических функций имеются у Кендалла (1946b). Таблица 4.1, расположенная по периодам и включающая суммарные величины, называется таблицей Бьюис-Баллота [Бьюис-Баллот (1847)].

Таблица 4.2 (см. скан) Коэффициенты циклических трендов

Значения оценок параметров, вычисленные по данным табл. 4.1, приведены в табл. 4.2. Сумма квадратов отклонений равна Наибольшая выборочная амплитуда в табл. 4.2 соответствует паре членов с минимальным периодом 12. Это отражает тенденцию ряда к наличию у него единственного колебания, близкого к сумме синусоиды и косинусоиды.