5.5.5. Случай неизвестного среднего
Предположим теперь, что векторное разностное уравнение имеет вид
или, что эквивалентно,
где
Тогда уравнениями максимального правдоподобия для 
и 2 будут 
Уравнение (60) приводит к следующей паре уравнений:
где 
Мы хотим показать, что асимптотическое поведение оценок В, являющихся решениями уравнений (62) и (3) соответственно, одинаково при 
Для этого достаточно в свою очередь показать, что при 
величины 
сходятся по вероятности к нулю.
Рассмотрим сначала случай, когда (57) выполняется для 
При этом
гак что 
Ковариационная матрица векторов 
для 
есть
Отсюда следует, что
и сходится при 
к
В силу неравенства Чебышева 
сходится по вероятности к нулевой матрице.
В случае когда (57) выполняется только для 
фиксированный вектор,
Разность между 
определяемым (64), и 
определяемым (68), равна
где 
задается соотношением (7), так что соответствующая разность между 
равна
Сумма же математических ожиданий квадратов элементов матрицы (70) сходится к нулю.
Из приведенных результатов следует, что 
сходятся при 
по вероятности к нулю и во втором случае. Оценки В для обеих моделей, определяемые (62) и (3), имеют одинаковые асимптотические свойства.
Теорема 5.5.8. Пусть 
определяется соотношениями (64) или (68), в которых 
независимы и одинаково распределены с 
и все характеристические корни матрицы —В лежат в единичном круге. Тогда предельное распределение случайной величины 
нормальное, имеет нулевое среднее и ковариационную матрицу (67).
Доказательство. Пусть 
равно правой части (45) плюс 
Тогда, если 
определяется соотношением (64), то
Правая часть (71) сходится к нулю, когда 
Используя теорему 7.7.5, находим, что 
имеет в пределе при 
нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, сходящейся при 
к некоторой постоянной. Применение следствия 7.7.1 приводит к заключению о том, что 
имеет в пределе нормальное
распределение. Поскольку вектор 
был произвольным, то последнее означает нормальность в пределе случайного вектора 
Если у, определяется соотношением (68), то надо использовать (70) и еще раз применить следствие 7.7.1.
Скалярное стохастическсе разностное уравнение порядка 
можно записать в векторной форме, беря в качестве 
вектор 
, у которого отлична от нуля и равна 
только первая компонента. Действительно, уравнения (60) для модели (57), в которой В заменяется на В, у, на 
на 
показывают, что при этом необходимо должны равняться нулю последние 
компонент 
Тогда из (59) будет следовать, что 
компоненты вектора 
равны 
Применяя полученные результаты для этого случая, находим, что 
имеет в пределе распределение, совпадающее с предельным распределением 
где 
