Глава 10. ЛИНЕЙНЫЕ ТРЕНДЫ И СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ
10.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 2, 3 и 4 мы рассматривали задачи статистических выводов для моделей, в которых функции тренда предполагались линейными относительно коэффициентов, а в качестве случайной составляющей рассматривалась последовательность независимых случайных величин с одинаковой дисперсией. В гл. 5 предположение о независимости было заменено предположением о том, что случайная составляющая удовлетворяет некоторому стохастическому разностному уравнению. Теперь же мы займемся оценкой коэффициентов при произвольной ковариационной функции ошибок (разд. 10.2.1 и 10.2.2) и проведем асимптотическое исследование в ситуации, когда случайная составляющая образует стационарный случайный процесс (разд. 10.2.3 и 10.2.4). Поскольку оценки наименьших квадратов можно получать вне зависимости от того, известна или неизвестна случайная составляющая, представляет особый интерес выяснение связи между оценками наименьших квадратов и наилучшими линейными несмещенными оценками.
Т. Андерсоном (1948) было указано на то, что если независимые переменные образуют характеристические векторы ковариационной матрицы ошибок, то критерии типа рассмотренных в § 6.3 подобны и оптимальны, а оценки максимального правдоподобия коэффициентов регрессии в предположении нормальности совпадают с оценками наименьших квадратов (§ 2.4). Ватсон (1952), (1955), а также Ватсон и Хеннан (1956) изучали эффективность оценок наименьших квадратов. Полученное Ватсоном неравенство показывает, что оценки наименьших квадратов эффективны тогда и только тогда, когда независимые переменные образуют совокупность соответствующих характеристических векторов. Магнесс и Макгир (1962) вновь нашли эти условия и доказали их необходимость и
достаточность. Более полное изучение этих условий и обзор литературы можно найти у Ватсона (1967) и Зискинда (1967).
Гренандер (1954), Розенблатт (1956), а также Гренандер совместно с Розенблаттом (1957, гл. 7) исследовали соответствующие задачи в асимптотическом плане. В разд. 10.2.3 их результаты развиваются в форме, аналогичной случаю конечного Т. В разд. 10.2.4 показано, что и в общей ситуации с коэффициентами можно обращаться как с нормально распределенными, если только значение 
достаточно велико.
В гл. 8 и 9 мы занимались оцениванием ковариаций и спектральной плотности в случае, Когда либо математическое ожидание процесса было известно, либо оно оценивалось как константа. В § 10.3 мы рассмотрим оценивание ковариаций и спектральной плотности для случая, когда математическое ожидание процесса является линейной функцией регрессии и коэффициенты оцениваются по методу наименьших квадратов. Это исследование проводится на основе результатов Хеннана (1958).
В гл. 6 для проверки независимости были развиты достаточно общие критерии. Однако построение точных распределений и таблиц процентных точек опиралось там на тот факт, что математическое ожидание было известно или предполагалось постоянным». В § 10.4 мы проведем это исследование для случая, когда используются остатки от оценки регрессии.
