5.7.3. Центральная предельная теорема для процессов скользящего среднего
Для обоснования асимптотической нормальности оценок нам необходимо доказать, что выборочные корреляции имеют в пределе нормальное распределение. Хотя вторые моменты выборочных ковариаций зависят от четвертых моментов самого процесса, тем не менее оказывается, что вторые моменты асимптотических распределений коэффициентов корреляции зависят только от вторых его моментов. При этом факт асимптотической нормальности определяется только тем, будет ли конечной дисперсия.
Теорема 5.7.1. Пусть
определяется соотношением (1), где
независимые одинаково распределенные случайные величины с
Тогда вектор
имеет в пределе при
нормальное распределение с нулевым средним и ковариациями
Доказательство. Пусть
Рассмотрим следующее выражение:
Первая сумма в правой части равна
с точностью до самое большее
слагаемых. Подобным же образом и третья сумма в правой части (29) равна (30) с точностью до самое