Главная > Статистический анализ временных рядов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.7.3. Центральная предельная теорема для процессов скользящего среднего

Для обоснования асимптотической нормальности оценок нам необходимо доказать, что выборочные корреляции имеют в пределе нормальное распределение. Хотя вторые моменты выборочных ковариаций зависят от четвертых моментов самого процесса, тем не менее оказывается, что вторые моменты асимптотических распределений коэффициентов корреляции зависят только от вторых его моментов. При этом факт асимптотической нормальности определяется только тем, будет ли конечной дисперсия.

Теорема 5.7.1. Пусть определяется соотношением (1), где независимые одинаково распределенные случайные величины с Тогда вектор имеет в пределе при нормальное распределение с нулевым средним и ковариациями

Доказательство. Пусть Рассмотрим следующее выражение:

Первая сумма в правой части равна

с точностью до самое большее слагаемых. Подобным же образом и третья сумма в правой части (29) равна (30) с точностью до самое

большее слагаемых, так как Поэтому предельное распределение величины совпадает с предельным распределением статистики

За исключением, быть может, слагаемых, (31) совпадает с

где для для Далее, (32) есть

Последнее отличается не более чем слагаемыми от

имеющего вид Слагаемые имеют нулевые средние, дисперсии

и нулевые корреляции. Последовательность их образует -зависимый стационарный случайный процесс. Асимптотическая нормальность (29) вытекает теперь из теоремы 7.7.5. Для имеем и

а последнее отличается не более чем слагаемыми от

Использование теоремы 7.7.5 приводит к тому, что и (37) имеет в пределе нормальное распределение. Отметим, что коэффициент при в (37) для совпадает с коэффициентом при в (34) по той причине, что для Поскольку

ковариация между (34) и величиной, получающейся из (34) при замене на равна

где определено в (28). [Если , то (39) есть ] Имеем, далее,

Каждая сумма сходится по вероятности к в силу закона больших чисел, а каждая сумма сходится по вероятности к нулю, так как сходится к нулю при

Таким образом, сходится по вероятности к Поэтому предельное распределение величины

есть Доказательство теоремы завершается аналогичным рассмотрением произвольной линейной комбинации

1
Оглавление
email@scask.ru