3.4.5. Определение степени гладкости тренда

Можно интересоваться также вопросом о том, обладает ли тренд определенной степенью гладкости. От этого, например, зависит выбор сглаживающей формулы. Таким образом, может возникнуть необходимость выяснить, является ли тренд гладким в том смысле, что он в каждом интервале времени может быть адекватно представлен полиномом вполне определенной степени Это соответствует задаче проверки гипотезы о том, что данная степень является приемлемой для описания тренда, против альтернативы, состоящей в том, что данная степень недостаточна для его описания. Кроме того, можно рассмотреть задачу со многими решениями об определении приемлемой степени (в пределах между двумя заданными значениями полинома, аппроксимирующего тренд.

Если под точным соответствием понимать совпадение выравнивающей функции с единственным адекватным представлением тренда, то перечисленные задачи полностью равносильны изученным в § 3.2 для полиномиального тренда. Если допустить более широкое, но нечеткое толкование адекватности представления, то задачи теряют математическую определенность. Вполне возможно особое внимание уделить максимально допускаемому расхождению между действительным трендом и его полиномиальной аппроксимацией. Однако получаемые при этом математические задачи трудны для решения. Следует отметить, что общая теория задач со многими решениями, являющаяся обобщением теории § 3.2, здесь неприменима.

Рассмотрим указанные задачи, ограничиваясь использованием сумм квадратов переменных разностей. Из (37) видно, что математическое ожидание величины V, зависит от суммы Эта сумма равна нулю, если полином имеет степень, меньшую и близка к нулю, если функция близка к полиному степени, меньшей для каждого набора последовательных значений Отсюда следует, что Vг можно использовать в упомянутых статистических задачах. Принимать решение о том, что близка к нулю для всех значений что полиномы степени дают адекватное представление), против альтернативы близости к нулю только разности Для всех можно, например, убедившись в том, что ненамного больше

Сглаживающие формулы, рассмотренные в § 3.3 и 3.4, были основаны на предположении о том, что полином степени или дает адекватное представление тренда в интервале последовательных моментов времени. В частности, мы отмечали, что для смещение при оценивании тренда равно Таким образом, вопросы, которые мы сейчас изучаем, соответствуют задачам о выборе подходящих сглаживающих формул.

Рассмотрим проверку гипотезы в предположении, что Мы отвергнем эту гипотезу, если V, будет намного больше Такая процедура может быть основана на статистике

Из (68) видно, что дисперсия числителя приблизительно равна

Если указанная гипотеза верна, то математическое ожидание числителя (71) равно нулю; в противном случае оно положительно.

Разность можно записать в виде

Каждое из последних двух слагаемых, умноженное на сходится по вероятности к нулю. (Отметим, что множитель, стоящий первым во втором слагаемом, имеет порядок ) Первое слагаемое является средним для величин. Если независимы и одинаково распределены, то рассматриваемые величины распределены также одинаково, но уже не являются независимыми. Тем не менее их последовательность образует стационарный случайный процесс (см. гл. 7), причем члены, отстоящие друг от друга более чем на являются независимыми. Это так называемый стационарный случайный процесс с конечной зависимостью. Теорема 7.7.5 утверждает, что имеет в пределе нормальное распределение. Поскольку является состоятельной оценкой для (вне зависимости от того, является ли нулевая гипотеза истинной или ложной), то и (71) имеет в пределе нормальное распределение, дисперсия которого получается из (72) опусканием .

Теорема 3.4.1. Если независимы и одинаково распределены с то статистика

имеет в пределе нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией.

Поэтому в случае больших выборок мы отвергаем нулевую гипотезу с уровнем значимости если вычисленное по выборке значение (74) превышает где

В теории больших выборок мы не использовали точную дисперсию, поскольку разность между ней и (72) стремится к нулю при

с», а центральная предельная теорема, на основании которой строится указанная процедура, не чувствительна к подобным разностям. Возможно, что учет дополнительных слагаемых может привести к тому, что асимптотическое распределение будет лучше приближать точное распределение для данного Т. Однако это неизвестно. Тинтнер (1940) брал более точные значения моментов (включая состоятельную оценку семиинварианта и привел таблицы, облегчающие вычисление и использование предельного распределения.

Если распределены нормально, то в случае истинности нулевой гипотезы статистика (74) имеет распределение, не зависящее от мешающих параметров. Распределения квадратичных форм от нормально распределенных переменных и отношений таких квадратичных форм будут детально изучены в гл. 6 в связи с рассмотрением сериальной корреляции. Там будет показано, что распределение величины или, эквивалентно, является весьма сложным и не может быть приведено к простой канонической форме. С целью упрощения отыскания этого распределения был предложен ряд модификаций. Тинтнер (1940, гл. 8) предложил заменить соответственно суммами слагаемых отбираемых таким образом, чтобы не появлялось дважды. При этом и числитель, и знаменатель являются суммами квадратов независимых нормально распределенных величин и их нормированное отношение имеет F-распределение. Этот метод, однако, крайне неэффективен, поскольку число членов в каждой сумме составляет лишь от максимально возможного. Другая модификация, предложенная Тинтнером (1955), состоит в использовании циклического определения (см. гл. 6). Это упрощает задачу отыскания распределения, но может привести к значительному смещению, поскольку тренд в начале ряда часто бывает совершенно отличным от тренда в его конце. (Фактически смещение может возрастать с ростом Камат (1955) и Гейссер (1956) предложили опускать одно или два средних слагаемых в выражении для с целью упрощения распределения последних. Другая возможность состоит в замене на . Мы обсудим эти задачи в дальнейшем в гл. 6 (где обозначение используется для других матриц).

Рассмотрим задачу со многими решениями о выборе одной из следующих гипотез:

Здесь означает выполнение равенства для всех означает нарушение равенства хотя бы для одного Эта совокупность предположений подобна (16) из § 3.2. Соответствующие решающие процедуры должны быть основаны на статистиках Предположим, что Как уже отмечалось, общая теория § 3.2 в данном случае неприменима. Дело в том, что не являются здесь достаточными статистиками. Тем не менее в соответствии с методикой § 3.2 исследователь может действовать последовательно, начиная с проверки гипотезы с помощью отношения так, как это было указано выше. Если эта гипотеза принимается, то проверяется гипотеза по значениям На каждом конкретном шаге используется Если гипотеза принимается, то на этом процедура заканчивается. Для длинных рядов (т. е. при больших эти критерии могут основываться на асимптотической теории, приведенной выше. Однако числители не являются асимптотически независимыми. Поэтому предельная вероятность принятия гипотезы а затем гипотезы описывается двумерным нормальным распределением. Предельная вероятность для решений требует привлечения -мерного нормального распределения. На практике обычно обходят эту трудность, производя проверку по каждому критерию в отдельности.

Будем, как уже однажды предполагалось, совершать последовательные действия в обратном порядке. Сначала рассмотрим отношение Если оно велико, то примем решение После рассмотрим Практически эта процедура может быть проведена следующим образом. Применяя оператор вычисления разностей к исходной последовательности, получают последовательность и вычисляют Затем, применяя разностный оператор к получают последовательность и вычисляют Поскольку величины определяются одна за другой, то каждую из них можно сравнивать с предыдущей. Критерии значимости могут быть применены, только когда задана последовательность уровней значимости. Однако, помимо трудности определения вероятностей ошибок из-за зависимости составляющих критериев значимости, осложняющим обстоятельством является еще и положительность вероятности того, что, например, величина мала, а велика, а это может привести к ошибочному заключению о том, что

Тинтнер (1952, стр. 320) привел для ряда из табл. 3.1 разности до порядка. (Последние числа в каждом столбце таблицы Тинтнера ошибочны.)

Таблица 3.5 (см. скан) Дисперсии для разностей из табл. 3.1

Значения статистик вычисленные по этим разностям, помещены в табл. 3.5. При статистика V, равна и совпадает со средней остаточной суммой квадратов для в нижней половине табл. 3.2. Заметим, что оценка для основанная на аппроксимирующем полиноме степени значительно меньше оценки, являющейся средней суммой квадратов остатков относительно выравнивающего полинома степени .

Тинтнер вместе с разностью в качестве состоятельной оценки для использует вместо статистики статистику Последняя представляется более предпочтительной ввиду того, что она состоятельна при