4.3.3. Проверка гипотез и построение доверительных областей для коэффициентов

Приведенные выше в соотношениях (10) -(13) оценки коэффициентов являются несмещенными, т. е.

Дисперсии равны а дисперсии равны Эти оценки являются взаимно некоррелированными. Если величины нормально распределены, то указанные оценки нормально распределены и независимы.

Статистика является несмещенной оценкой для Если величины распределены нормально, то отношение пропорционально величине, имеющей -распределение, не зависящее от оценок коэффициентов. Если представляется суммой (1), задается соотношением (14), то отношение имеет -распределение с степенями свободы. Если же представляется в виде (2), задается соотношением (15) (т. е. четное и присутствует то отношение имеет -распределение с степенями свободы.

В предположении нормальности можно использовать критерии и доверительные области, приведенные в гл. 2. При этом процедуры принимают особенно простой вид из-за ортогональности и нормировки используемых регрессионных переменных. Одной из нулевых гипотез, которые могут представлять для нас интерес, является гипотеза об отсутствии циклического слагаемого с заданным йаименьшим периодом, скажем Эта нулевая гипотеза имеет вид

Сформулированная гипотеза связана как с синусоидальной, так и с косинусоидальной составляющими потому, что в сумме они могут задавать сдвинутую функцию косинус. Мы здесь не затрагиваем вопроса о синхронизации, т. е. о фазе Указанная выше гипотеза эквивалентна гипотезе

Если верна нулевая гипотеза, то величины независимы и нормально распределены с нулевыми средними и дисперсиями Поэтому статистика

имеет -распределение с 2 степенями свободы. В противном случае она имеет нецентральное -распределение с параметром нецентральности (См. (49) ниже.) Пусть число оцениваемых коэффициентов или Тогда при нулевой гипотезе статистика

имеет F-распределение с степенями свободы. В общем случае (27) имеет нецентральное F-распределение с параметром

нецентральности Нулевая гипотеза отвергается с уровнем значимости если (27) больше, чем -процентная точка F-распределения. Соответствующая функция распределения равна

Задача проверки указанной гипотезы инвариантна относительно следующих преобразований оценок: (если T четное), для произвольных . Соответствующее преобразование переменных имеет вид

Если нечетное, то слагаемое отсутствует. (См. упр. 11 и 12.) Распределение переменных совпадает с распределением с соответственно преобразованными параметрами. Всякая функция параметров, инвариантная относительно введенных преобразований, является функцией от Всякая функция от достаточных статистик, инвариантная относительно введенных преобразований, является функцией от Поскольку семейство распределений полно, единственными инвариантными критериями, основывающимися на достаточных статистиках и имеющими заданный уровень значимости, являются критерии, основанные на статистике Поэтому равномерно наиболее мощным инвариантным критерием уровня будет критерий, который отвергает нулевую гипотезу, когда наблюдаемое значение F превосходит Этот критерий является равномерно наиболее мощным среди критериев, функции мощности которых зависят только от

Гипотезы относительно значений можно проверять с помощью -критериев. (См. упр. 14 и 15.) Если известно, то F-критерии можно заменить -критериями, а -критерии — нормальными критериями.

Пусть четное и априори предполагается, что Тогда для проверки гипотезы о том, что тренд ряда не содержит периодического изменения, мы должны проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициентов при всех тригонометрических функциях, имеющих такой период (за исключением константы 1), Для этого можно использовать статистику

Последняя при нулевой гипотезе, состоящей в том, что постоянна, имеет -распределение с и степенями свободы. В общей ситуации (когда периодична с периодом статистика (30) имеет нецентральное -распределение с параметром нецентральности

здесь коэффициенты при в представлении

Наблюдения можно расположить в виде таблицы Бьюис-Баллота

в которой

Положим

Имеем

Нулевая гипотеза состоит в том, что Это эквивалентно задаче о совпадении средних в дисперсионном анализе с равными числами наблюдений в каждом из классов одинарной классификации. Обычно для проверки этой нулевой гипотезы используется статистика

имеющая F-распределение с степенями свободы при нулевой гипотезе и нецентральное F-распределение с параметром нецентральности

где в общем случае. Используя свойства тригонометрических функций, приведенные в разд. 4.2.1, можно показать, что F-статистики (30) и (36) совпадают. При этом совпадают и параметры нецентральности (31) и (37).

Доверительные области для параметров могут быть найдены обычным путем. Например, доверительная область для с коэффициентом доверия образуется парами чисел удовлетворяющими неравенству

в котором есть -процентная точка F-распределения с степенями свободы. Эта доверительная область состоит из границы и внутренности круга с центром и радиусом Точки граничной окружности и внутренности этого круга в полярной системе координат, образуют доверительную область для амплитуды и фазы Минимумом и максимумом в круге являются граничные точки интервала

Этот интервал является доверительным для с коэффициентом доверия, большим (Если нижняя граница интервала (39) отрицательна, ее можно заменить нулем.) Используя нецентральное -распределение статистики (27), можно построить

доверительный интервал для параметра нецентральности но это не приносит особой пользы, поскольку неизвестно.

Если то начало координат попадает в доверительный круг и гипотеза входит в число допустимых. Каждому значению угла соответствуют некоторые точки доверительного круга. При этом полезной является только верхняя граница (39). Нулевая гипотеза принимается с уровнем значимости Если начало координат не принадлежит доверительному кругу, то можно определить доверительный интервал для включая в него все углы , соответствующие этому кругу. Точнее говоря, в этот доверительный интервал включаются все углы 6, обладающие тем свойством, что луч, направленный из начала координат под углом к оси абсцисс, пересекает доверительный круг, и не включаются углы, не обладающие этим свойством. При этом длина доверительного интервала для меньше , а коэффициент доверия больше

Другой подход использует тот факт, что величина распределена нормально со средним и дисперсией Если то указанное среднее равно нулю. Поэтому

Событие, заключенное в скобки, иначе можно записать в виде

Из (41) получим следующее неравенство относительно

если знаменатель в правой части (41) положителен (при этом подкоренное выражение неотрицательно), и

или

если этот знаменатель отрицателен, а подкоренное выражение неотрицательно. Если же подкоренное выражение отрицательно, то оба отношения являются мнимыми. В таком случае неравенство (41) выполняется при всех значениях 0, поскольку при этом . Доверительное множество для задается соотношением (42), если знаменатель правой части (41) положителен, или соотношением (43), если указанный знаменатель отрицателен, а подкоренное выражение неотрицательно. Это доверительное множество совпадает со всей действительной прямой, если указанное подкоренное выражение отрицательно. Вероятность того, что доверительный интервал совпадает со всей прямой, равна вероятности события

Левая часть (44) имеет нецентральное F-распределение с степенями свободы и параметром нецентральности Вероятность события (44) мала, если велико. Отметим, что доверительный интервал, основанный на (38), является тривиальным, если левая часть (44) меньше равного приблизительно 3/2 правой части (44). [Шеффе (1970) предложил процедуру построения доверительного множества (38) для в случае, когда это множество содержит начало координат, и построения интервалов, подобных (42) и (43), использующую вместо надлежащим образом выбранную монотонно убывающую функцию от

Итак, имеется три типа доверительных множеств: (42), если если и вся прямая, если Они встречаются соответственно, когда велико, когда мало, велико, и когда обе эти величины малы.

Процедуры проверки гипотез и построения доверительных множеств, приведенные в этой главе, основываются на том, что

наблюдения независимы и нормально распределены. Тем не менее эти результаты сохраняются как асимптотические для фиксированных периодов если наблюдения независимы, их распределения имеют равномерно ограниченные (абсолютные) моменты порядка для некоторого или, в более общем случае, если выполняется условие Линдеберга — Феллера. (См, § 2,6.)