6.6. СЛУЧАИ, КОГДА СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫ

6.6.1. Постоянное среднее

В большинстве случаев, представляющих статистический интерес, среднее значение хотя и является постоянным, например тем не менее оно оказывается неизвестным. Для того чтобы учесть этот факт, плотность

где видоизменяют, заменяя вектор у вектором в котором . При этом показателем экспоненты

нормальной плотности будет умноженное на —1/2 выражение

Отсюда следует, что достаточным множеством статистик для параметров служит совокупность статистик Если при этом вектор является характеристическим вектором матриц соответствующим характеристическому корню то (2) записывается в виде

так что достаточное множество статистик для параметров в этом случае будут образовывать статистики Эквивалентным ему достаточным множеством статистик является совокупность статистик где

Если же не является характеристическим вектором матриц то минимальное достаточное множество статистик для указанных параметров будет состоять из и линейно независимого подмножества (не обязательно собственного) статистик .

Например, в циклическом случае

В модели, основанной на последовательных разностях,

В третьей из рассматривавшихся моделей вектор не является характеристическим вектором матрицы и поэтому для нельзя получить выражение (4). В случаях моделей, основывающихся на использовании матрицы в блочной матрице, положение будет следующим. Для четного вектор (размерности Т) будет характеристическим вектором матрицы если вектор (размерности ) является характеристическим вектором матрицы Для нечетного вектор (размерности будет характеристическим

вектором матрицы А, если вектор (размерности ) является характеристическим вектором матрицы соответствующим характеристическому корню, равному нулю. (Заметим, что компонента вектора должна быть равна нулю.)

В оставшейся части разд. 6.6.1 будем предполагать, что является характеристическим вектором матрицы соответствующим характеристическому корню При этом будет также характеристическим вектором матрицы , соответствующим характеристическому корню Оценка наименьших квадратов у для (минимизирующая является марковской оценкой (см. § 2.4), т. е. у — наилучшая линейная несмещенная оценка

Теорема Если является характеристическим вектором матрицы то распределения среднего у и вектора остатков независимы.

Доказательство. Поскольку у и компоненты вектора остатков состоят из линейных комбинаций компонент вектора у, имеющего нормальное распределение, то будут иметь совместное (сингулярное) нормальное распределение. Ковариационная матрица 2 вектора у находится из соотношения . Ввиду того что

среднее не коррелировано с компонентами вектора и поэтому не зависит от

Следствие 6.6.1. Совместное распределение квадратичных форм от остатков и распределение среднего у независимы.

Выводы относительно равномерно наиболее мощных критериев в § 6.3 и относительно процедур со многими решениями в § 6.4 могут

быть распространены и на модели, в которых характеристический вектор матриц . В этом случае достаточное множество статистик для параметров при образуют статистики Критическая область пространстве значений подобного критерия для проверки гипотезы с уровнем значимости имеет неймановскую структуру. Иными словами, она удовлетворяет соотношению

для почти всех возможных значений Поскольку статистически не зависят от у, то условная вероятность того, что значение будет принадлежать при заданных значениях не зависит от значения у. Поскольку к тому же являются функциями остатков, распределение которых не зависит от параметра то вероятность (8) не будет зависеть и от Поэтому можно (8) записать в виде

Совместную плотность распределения величин можно записать как

Маргинальная плотность для равна

где

Условная плотность для при заданных будет, таким образом, равна

Она может быть выписана только для тех наборов при которых значит, при которых Мы можем воспользоваться теперь фундаментальной леммой Неймана — Пирсона.

Теорема 6.6.2. Наилучший подобный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернатив уровнем значимости имеет критическую область

где с определяется таким образом, чтобы вероятность события (14), вычисляемая согласно плотности (13), при была равна

Теорема 6.6.3. Равномерно наиболее мощный подобный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернатив с уровнем значимости имеет критическую область (14), где с определяется таким образом, чтобы вероятность события (14), вычисляемая согласно плотности (13), при была равна

Следствие 6.6.2. Равномерно наиболее мощный подобный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернатив с уровнем значимости имеет критическую область

где определяется таким образом, чтобы интеграл от плотности

по множеству (15) был равен

Наилучший критерий против альтернативы будет иметь критическую область

Теорема 6.6.4. Равномерно наиболее мощный несмещенный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернатив с уровнем значимости имеет критическую область

где определяются так, что

и

Следствие 6.6.3. Равномерно наиболее мощный несмещенный критерий для проверки нулевой гипотезы против альтернатив с уровнем значимости имеет критическую область

где определяются соотношениями

и

Если условная плотность для при заданных значениях симметрична, когда соотношение (23) будет выполнено для

поскольку обе части (23) при этом равны нулю. Соотношение (22) примет в этом случае вид

Следует отметить, что условное распределение для при заданных значениях не зависит от значений параметров Поэтому можно приписать им любые удобные значения, например положить

Как правило, будет равно

Отношение (для

можно рассматривать как сериальный коэффициент корреляции. Если то совместное распределение величин не зависит от (См. теорему 6. 7.2.) Оптимальные критерии (15) и (21) можно тогда определить, используя условное распределение при заданных значениях

Теоремы § 6.4 относительно оптимальных процедур со многими решениями могут быть подобным же образом перефразированы в терминах на случай когда является характеристическим вектором матриц