9.3.3. Асимптотические дисперсии и ковариации

Перейдем теперь к изучению асимптотического поведения дисперсий и ковариаций оценок (13), которых при Будем предполагать, что непрерывна на и

Из разд. 8.2.2 следует, что

где суммирование ведется по тем для которых есть число таких пар которые удовлетворяют обоим указанным неравенствам и для которых Точные выражения для даны а упр. 19. [Для некоторых троек ] Отметим, что

и

для каждого набора . В действительности справедливо даже следующее неравенство:

Используя (40), получаем далее

(см. скан)

рассмотрим входящую в это выражение сумму

Здесь суммы по равны нулю, если указанный нижний предел оказывается больше верхнего.

Заметим, что разность между (45) и

по абсолютной величине не превосходит

Поскольку же то последняя может быть сделана сколь угодно малой, если выбрать достаточно большим и если функция ограничена. Если функция непрерывна на отрезке то для и достаточно больших значений

для всех таких что Кроме того, для

Это наводит на мысль использовать вместо (46) сумму

Действительно, разность между (46) и (50) становится при больших сколь угодно малой. В то же время, если или то при входящая в (50) сумма по имеет предел

так что для достаточно больших предел (50) становится сколь угодно близок к величине

Если же то и в силу результата упр. 23 (аналога теоремы Римана — Лебега)

При этом будет равен нулю и предел всего выражения (50).

Рассмотрим теперь следующую составляющую суммы, стоящей в правой части (44):

Последнюю можно аппроксимировать суммой

а ту в свою очередь суммой

поскольку при больших приближенно равно Если теперь или то (56) имеет в качестве предела

Если же то предел (56) равен 0. Наконец, входящая в (44) сумма

не превосходит по абсолютной величине

и, следовательно, ее предел при равен 0, если только

Теорема 9.3.4. Пусть оценка определена соотношением (36), причем и функция непрерывна на отрезке . Предположим, что выполнены условия

Пусть последовтельность целых чисел такова, что при Тогда

Теорема 9.3.4 показывает, что дисперсия имеет порядок Поскольку отношение будет больше отношения для произвольного К и для всех достаточно больших значений Поэтому дисперсия состоятельной оценки вида (36) будет асимптотически большей, чем дисперсия оценок того типа, который рассматривался в разд. 9.3.1.

Если фиксировать целочисленную последовательность то различные оценки можно сравнивать по величине интеграла Примеры такого сравнения даны в табл. 9.3.3. Как видно из этой таблицы и из табл. 9.3.2, для ядер с характеристика

Таблица 9.3.3 (см. скан) ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЯДЕР

смещения и величина указанного интеграла имеют тенденцию изменяться противоположным образом.

Отметим, что, как следует из соотношения (44) § 8.3, условие (61) будет выполнено, если, например, где и первые четыре момента последовательности соответствуют требованиям стационарности и независимости

Если среднее неизвестно, то в определении следует заменить на или на . В конце § 9.4 показано, что теорема 9.3.4 приложима и к этим оценкам.