9.2.2. Особености оценивания спектральной плотности

Если в качестве параметра положения брать математическое ожидание некоторой статистики и если интересоваться оценкой значения теоретической спектральной плотности в точке то следовало бы использовать такую линейную комбинацию выборочных ковариаций, математическое ожидание которой, являющееся одновременно взвешенным средним выборочной спектральной плотности, было бы по возможности более близким к Свойства этого математического ожидания можно рассматривать либо с помощью коэффициентов либо с помощью весовой функции Если мы оцениваем значение то при этом желательно, чтобы функция имела пик в точке . В то же время мы заинтересованы в том, чтобы дисперсия оценки была по возможности меньшей. Эти два условия в известном смысле

противоречивы. В § 9.3 будет рассмотрено асимптотическое смещение и дисперсия последовательности такого рода оценок.

Используемая нами оценка является линейной комбинацией выборочных ковариаций. Число их в оценке равно Т. При увеличении дисперсия каждой выборочной ковариации уменьшается. Однако этот эффект погашается возрастанием числа входящих в оценку выборочных ковариаций. Мы будем иаучать оценки, в которых число выборочных ковариаций растет не слишком быстро и то же время дисперсия сравнительно велика по сравнению со средними значениями.

Указанные оценки можно рассматривать также как взвешенные средние выборочной спектральной плотности. Поскольку значения выборочной спектральной плотности в различных точках асимптотически некоррелированы, то следует ожидать, что взвешенное среднее этих значений в различных точках будет иметь малую асимптотическую дисперсию. Для уменьшения асимптотической дисперсии последовательность весовых функций до не должна в точке, где производится оценка спектральной плотности, иметь слишком быстро возрастающий пик. Это соответствует случаю когда число косинус-функций, входящих в весовую функцию, растет с ростом медленно.

Если оценивать величиной

то соответствующей оценкой для будет

Весовыми функциями для являются

а для

Таким образом, задание оценки для приводит к соответствующей оценке функции для каждого Отметим, что Поскольку для всех являются четными периодическими функциями с периодом то

Мы обычно будем требовать, чтобы для каждого выполнялись условия Отсюда, в частности, следует что

Функции называются окнами, поскольку в некотором смысле они определяют части которые «просматриваются» математическим ожиданием оценки и самой оценкой соответственно. Для весовой функции типично наличие одного большого пика с центром в точке окруженного более мелкими лепестками.