10.3. ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИЙ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ПО ОСТАТКАМ ОТ ТРЕНДОВ

10.3.1. Оценивание ковариационных матриц

Рассмотрим снова модель и займемся вопросами оценивания ковариационной матрицы 2. В разд. 10.3.2 мы изучим асимптотическую теорию для случая, ковариации соответствуют некоторому стационарному случайному процессу. Асимптотическая теория для выборочной спектральной плотности и для оценок спектральной плотности, основанных на остатках от тренда, подобранного по методу наименьших квадратов, рассматривается в разд. 10.3.3 и 10.3.4 соответственно. Эта теория обобщает проведенное в § 8.3, 8.4 и 9.4 исследование указанных статистик, построенных по остаткам от выборочных средних. Оценкой наименьших квадратов вектора является

Остатки от подобранной регрессии образуют при этом -компонентный вектор

имеющий математическое ожидание 0 (ввиду того что Компоненты этого вектора могут быть использованы для

оценивания самой матрицы или функций от . Если о структуре матрицы предварительна ничего не известно, то для ее оценивания можно использовать матрицу Математическое ожидание последней равно

и отлично от . Ранг этой оценки равен в то время как сама имеет ранг Если только 2 не обладает специфической структурой, то число подлежащих оценке параметров в будет равно . В то же время, в имеется лишь линейно независимых компонент, (Вектору — ортогонален вектору

Смысл соотношения (3) можно лучше представить себе в случае, когда оценки наименьших квадратов оказываются эффективными. Именно в этом случае матрица представима в виде где С — невырожденная матрица, столбцов которой является характеристическими векторами , соответствующими некоторым ее характеристическим корням (Мы предполагаем, что при наличии кратных характеристических корней характеристические векторы определяются таким образом, что среди них содержатся все столбцы матрицы Пусть некоторое подмножество целых чисел от 1 до Т. Тогда

Полагая получаем

Ковариационная матрица вектора равна диагональной матрице

элементы которой являются характеристическими корнями матрицы . Если у имеет нормальное распределение, то вектор х также будет нормальным, а его компоненты независимыми, причем дисперсия компоненты равна Матрица ковариаций оценки равна

где диагональная матрица с элементами Если характеристические векторы известны, то для оценки можно использовать значения известно, что оценки наименьших квадратов являются эффективными, т. е. если имеет вид то определено -мерное линейное пространство, порождаемое Эти оценки пригодны для оценивания ковариационной матрицы для поскольку известные функции от и матрица С известна. Отметим, что не коррелированы, так как

Изучим подробно случай, когда характеристические векторы известны. Так будет, в частности, когда

Здесь характеристические векторы матриц неизвестные параметры. Примером может служить циклическая модель с и

где В — матрица, имеющая единицы непосредственно над главной диагональю, единицу в левом нижнем углу и нули на всех остальных позициях. При этом берется . (Характеристические корни матрицы равны компонентами вектора являются или Для удобства предположим, что (т. е.

Допустим, что характеристических корней матрицы 2, соответствующие столбцам матрицы V, функционально не зависят от остальных характеристических корней. В циклической модели это будет при . Тогда и

Если четное и то

Характеристические корни, соответствующие столбцам матрицы V, функционально не зависят от остальных корней, если возможными столбцами V являются при четном и пары линейных комбинаций для некоторых значений Дисперсии оценок компонент вектора (именно, для равны